449番の問題がよくわかりません。

数学

高校生

解決済み

2年以上前

449番の問題がよくわかりません。
全く手がつけれていない状態で申し訳ないのですが、よろしければ教えてくださると嬉しいです。

{Cn}の一般項を求めよ。 2) 数列 {am} の一般項を求めよ。 449 1歩で1段または2段の階段を昇るが,1歩で2段昇ることは連続しないものとするとき, 15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。 450* 数列 {an}を次の式 (首都大学東京) (京都大·改) a1 = 1, a2 = 3, a +n

an = 2"b, =3·2" -n-1 449 n 段の階段の昇り方をan 通りとすると ai = 1, a2= 2, as = 3 n24のとき,次の(i), (ii)の場合がある。 (i) 最後の1歩で1段昇るときその前の1歩は, 1段でも2段でもよいので,このような昇り方は n-1段の昇り方 an-1 通りで 4 ある。 (i) 最後の1歩で2段昇るときその前の1歩は, 2段昇ることが連続しないことから,1歩昇ることになる。よって, n-3段の昇り方an-3 通りである。 (i), (ii) は同時に起こらないから an = Qn-1 +an-3 (n2 4) この漸化式を用いて, ai5 まで順に求めて表にすると, 次のようになる。 88

11 n n 1 2 3 2 ー 4 5 6 2 7 8 a= an 1 2 3 n 4 6 9 13 19 よって 9 10 11 12 n+1 13 14 15 2 28 41 60 88 129| 189|277 よって,求める昇り方はと変 277 通り n RCa した a

回答

✨ ベストアンサー ✨

なむる

2年以上前

とりあえず、計算しやすいように何かしら漸化式を作りたいというのが目標です。ここで、「最後の一歩」で場合分けをします。つまり、最後の一歩が1段か2段かで場合分けをするということです。それぞれの場合で登り方を求めさえすれば、最後の一歩が1段であることと2段であることは同時に起こらないので、素直に足し算できます。

(i)最後の一歩が1段の場合
最後の一歩を行う前は、n-1段目にいます。つまり、同じルールのもとn-1段目に登った上で、1段登るという一つの方法をすれば、n段目に到達できます。
ですから、この時の登り方はa[n-1]通りです。

(ii)最後の一歩が2段の場合
最後の一歩を行う前は、n-2段目にいます。つまり、同じルールのもとn-2段目に登った上で、2段登るという一つの方法をすれば、n段目に到達できます。
ですが、「2段登る行為は連続できない」というルールが落とし穴になってきます。(i)ではn-1段目まで上がることについて特に考慮すべき点はありませんでしたが、今回は、最後が2段上がると決まっているので、その前は必ず1段なのです。ですから、n-3段目に来た時点で、1段,2段の順番で登らなければいけないと決まっているのです。ですから、この時の登り方はa[n-3]通りです。

あとは(i)(ii)は排反なので足し算して、
a[n]=a[n-1]+a[n-3]となり、n≧4の時はこれを使って計算すればOKです。

補足用の画像も添付しておきます。