Question

まぐろのおすし

鋭角三角形ABCの重心をGとする。BGと辺ACの交点をD、CGと辺ABの交点をEとするとき、BD＝CEならば AB＝ACであることを証明せよ。

(自分の解答)
△BDCと△CEBにおいて、
仮定より、
　BD＝CE・・・①
共通な辺だから、
　BC＝CB・・・②
D、Eはそれぞれ辺AC、辺ABの中点だから、
　DC＝EB・・・③
①②③より、３組の辺がそれぞれ等しいから、
　△BDC≡△CEB
合同な図形の対応する角は等しいから、
　∠BCD＝∠CBE
よって、2組の角が等しいから、△ABCは二等辺三角形である。
したがって、AB＝AC

画像の答えとは違うやり方だったんですけど、自分のはあっているでしょうか？
中学校で習った合同を使って、高校で習った重心をほとんど使ってないのですが…

154 Gは△ABCの重心
であるから
A
VDO
BG:GD=2:1,
E
CG:GE=2:1
D
G
よって
B
2
BG= BD, GD= BD,
C
CG=-CE, GE=-
1
CE
したがって,BD=CE のとき
BG=CG, GD=GE
さらに,ZBGE= ZCGD であるから
00
ABGE=△CGD
BAOA
よって
BE=CD
ADA 0800
E, Dはそれぞれ辺 AB, ACの中点であるから
AB=AC

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ログアウト済み

①と②は正しいですが、③は誤りです。

③は【AB＝AC】ならば成立する事柄ですが、AB＝AC は今回の問題で証明する事柄なので、使うことができません。

まぐろのおすし

自分の説明があってるかわからないですけど、△ABCって重心をもっている(？)からそれぞれの頂点から重心を通る線を結べば辺の比って1:1になりませんかね？

まぐろのおすし

実際画像に載せた答えにも最後の2行目にそれっぽいこと書いてあるんですけど…
どうなんでしょうか？

ログアウト済み

確かに、△ABCのそれぞれの頂点から重心を通る線を結べば、AE：EB＝AD：DC＝1：1、つまり、AE＝EB、AD＝DC
が言えます。
しかし、この事実だけだと、DC＝EB は言えませんよね。これが正しいと言い切るには、AD＝AE または AB＝AC が必要です。
AD＝AE とは問題文には書かれていませんし、AB＝AC は証明するべき事柄なので、これは DC＝EB の証明には使えません。
よって、DC＝EB は、画像のように重心を利用しない限り証明できません。

ログアウト済み

画像の下から3行目以降では、
BE＝CD ならば、AB＝AC
であることが記されています。

(重心を利用して) BE＝CD を示せたからこそ、AB＝AC が示される、ということを言っています。

とにかく、AE＝EB、AD＝DC という2つの情報からは DC＝EB は言えないことは理解していただきたいです。

まぐろのおすし

ありがとうございます！
理解できました〜！！😄