Question

おと

この問題の(3)がよく分かりません。
3枚目の写真の
a-bのときan=1+bn
と表せる所までは分かるのですが、そのとき
b=0と表せる理由が分かりません。
教えていただきたいです！

(3) 数列(a)が収束するようなa, 6を座標とする点(a, b) の存在する
化式と極限(1)
2つの数列{a,), (bn}は, a=a, b、=1-a,
(n=D1, 2, …)
an+1=aan+bbn
16m+1= (1-a)an+(1-6)bn
を満たしている。ただし, a, bは実数である。
(1) an+b,=1 を示し, an+1 を an, a, bを用いて表せ,
(2) an をn, a, bを用いて表せ。
(富山
囲を図示せよ。
一精講
an+bn=1 を用いてbnを消去する
と,典型的な2項間漸化式
解法のプロセス
anの2項間漸化式を導きー
項を求める
an+1= pantq
が現れます。p=1 のときは,
an+1-Qn=q (等差数列)
カキ1 のときは,
anの収束条件は
無限等比数列の収束条件に帰着
an+1
q
1-p
と変形することで一般項がわかります。
無限等比数列の収束条件は, 標問3で学びました。
解答)
Jan+1=aan+bbn
|bn+1=(1-a)an+(1-6)bn
1) O+2より
(2
an+1+ bn+1=an+bn
すなわち, {an+bn} は一定の数列であるから
ant bn=a+b,=a+(1-a)=1
のと3より b,を消去すると
an+1=aan+b(1-an)
an+1=(a-b)an+6
(i) a-b=1 のとき, an+1-an=b より
an=ai+(n-1)b=a-b+bn
an=1+bn

19
(i) a-bキ1 のとき、
b
1-a+b
6
=(a-b)\an-T-atb)
an+1
b
b
an-
1-a+b
1-a+b)
1-a+b
6+(1-a)(a-6)
an
*a=1 のときは無条件で収東
1-a+b
(3) {an) が収束するのは次の場合である.
(i) a-b=1 のとき, b=0
. a=1, b=0
(i) a-bキ1 のとき,
b1
a=1 または
-1<a-b<1
b=a+1
(i)または(ii)を図示すると,右図の直線 a=1 と
斜線部分である.ただし, 2点
(1,0)と(1, 2)
を含み,それ以外の2直線
2
1
b=a-1
1
-1
b=a±1
上の点を除外する。

(1)0-b=1のでき、 Qn=+ ba
これがでリスネするには 6=05 0me (+ bxo0 - 1
おって a=1
0
b+(1-の)(α-b)
(1) a-bキ1の2. Am=
b+Ox00
- 1
0+b
1-a+b
トつ0にるて.
PKOを作ってる
こみがりスするには 一<a-b<1 またの1-の=0
b<a+l,b>a-1
a=1
☆価時に教引りの収性件
r=l またはー1<r<l
ので、
今回naわキ1
だから X

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

けー

⑵で、a - b = 1 のときにanは

an = 1 + b × n ･･･ ①

と表せると分かったので、⑶ではこの数列{an}が＂収束するための＂条件を考えています。

（収束しなくてもよいなら、特に b = 0 となる必要は全くありませんが、そうではなく、⑶では{an}を収束させたいんです。）

ところで、数列が＂収束する＂とはつまり、

『n → ∞の極限をとり、nをどんどん大きくしていっても an の値が発散しない（an → ± ∞ にならない）』

ということです。

（例えば、一般項 an がan = nである数列は発散します。nを大きくしていくと、anの値もどんどん大きくなっていきますよね。）

上の①において、b ≠ 0 だと、b × n があるせいで、nを大きくしていったときにanの値は発散してしまいます。

（※ bの値がどんなに小さくても、b ≠ 0である限り必ず発散します。なぜなら、nはいくらでも大きくすることが出来るので、bがどれだけ小さくても、それを打ち消すほどnを大きくすれば、b × n の値はどんどん大きくなるからです。）

よって、①で表されるanの値が収束するには、

b = 0

でないといけないです。

以上が、 a - b = 1 のときに b = 0である理由です。
分かりにくい箇所や疑問点ありましたら、遠慮なくご質問ください！

おと

なるほど！！
分かりやすく教えて下さってありがとうございました！

けー

いえいえ！