Question

にゃおにくす

この解説のところに疑問があります。
数列a_n-3は、
初項5、公差3の等差数列ではないんですか？
なぜ等比数列とわかるのかとかさっぱりわからないです、。

例題
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次のように定められる数列{an}の一般項を求めよ。
16
a=8, an+1=2amー3
解
an+1=2a,-3 を変形すると,
α=2a-3 より, α=3
an+1-3=2(anー3)
したがって,数列 {an-3} は, 初項 a-3=5, 公比2の等比数
列となり、
an-3=5·27-1
よって,
an=5·2"-1+3

数b 等差数列 等比数列 漸化式

Answer 1

たかひろ

よく分からないのでしたら、
　a_n-3
を改めてA_nとでもおいてみましょう！

そうすれば
　A_n+1 = 2×A_n
となりますから、数列{A_n}が公比2の等比数列であることがわかるかと思います。

これを聞いても、まだよく分からないようでしたら、nに1,2,3,4,5…と入れてみてください。

そうすればご理解いただけるはずです。

にゃおにくす

説明は理解できました！
でも、初見でこの問題を見た時には、どう判断すればいいのでしょうか？

たかひろ

ご理解いただけてよかったです！

「どう判断」というのは、何の判断のことでしょうか？
等差数列か等比数列かの判断でしょうか？

　A_n+1 = A_n + ○
のような形になっていれば等差数列、
　A_n+1 = ○ × A_n
のような形になっていれば等比数列
と判断すればよいですよー！

にゃおにくす

なら何で今回a_n3という形なのに等差数列は使わないのですか？

にゃおにくす

↑a_n+3という形です

にゃおにくす

↑a_n+(-3)という形でした何度も訂正してすみません！回答いた抱けると嬉しいです！

たかひろ

もし
　(a_n+1)=(a_n)-3
であれば数列{a_n}は公差-3の等差数列ですね。

ただ、今回は
　(a_n+1)-3=2((a_n)-3)
ですから、それとは話が変わります。

形に惑わされず、しっかりと本質を見据えましょう！

にゃおにくす

んー、a_n-3が一つの数列となるっていうのがあんまりよくわからないです！数列の中で数列があるみたいでごちゃごちゃします笑

とりあえず、a_n-3を一つのすうれつとみたときに、
数列×和の形になっているから等比ってことでいいですか？