Question

sugar.__

答えは100になります。
分かる方教えていただきたいです。
よろしくお願いします🙇‍♀️

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2) 正の数x, y, z が 9x+4y+z=1を満たして変化するとき,
の最小値と,その最小値
y
x
2
を与えるx, y, zの値をそれぞれ求めよ.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

M

(1/x)+(4/y)+(9/z)
=(9x+4y+z)((1/x)+(4/y)+(9/z)) (∵(9x+4y+z)=1)
=34＋4(y/x+9x/y)＋(z/x+81x/z)＋4(z/y+9y/z)
相加平均・相乗平均より
y/x+9x/y≧2√(y/x)(9x/y)=6、
z/x+81x/z≧2√(z/x)(81x/z)=18、
z/x+9y/z≧2√(z/x)(9y/z)=6
よって、
(9x+4y+z)((1/x)+(4/y)+(9/z))
=34＋4(y/x+9x/y)＋(z/x+81x/z)＋4(z/y+9y/z)
≧34+4×6+18+4×6
=34＋24＋18＋24＝100
よって最小値は100

等号成立は、y/x＝9x/y、z/x＝81x/z、z/y＝9y/z
つまり、y＝3x、z＝9xのとき
これを9x+4y+z=1に代入して
9x+4×3x+9x=30x=1 → x=1/30, y=1/10, z=3/10

sugar.__

ありがとうございます！🙇‍♀️