Question

もともと

水色のマーカー部分からわかりません😥
どういう考えで解いていけばいいですか？

どうして直線にするのですか？
調べても分からなかったので教えていただけませんか🙇‍♀️

452 平面上に2点 A(2, 0), B(1, 1) がある。点P(x, y) が円 x+y?=1 の周
上を動くとき,内積 PA·PB の最大値を求め,そのときの点Pの座標を求めよ。
[11 名城大)

10
10
別解 PA=(2-x -y), PB=(1-x, 1-y)
また,x?+ y?=1であるから
70
> PA-PB=(2-x(1-x(-y)1-y)
=x?+y?-3x-y+2
=-3x-y+3
sに
PA·PB=k とおくと
3x+ y+k-3=0 …②
のが表す直線が円 x?+ y°=1 と共有点Pをもつ
|&-3|
V3°+12
すなわち k-3|<V10
から
:9A
-V10 <k-3<\10
3-V10<k<3+V10
したがって,PA·PB の最大値は 3+V10
よって
ゆえに
k=3+V10 のとき, ② は
3x+y+V10 =0 すなわち y=-3x-V10
1
共有点Pは直線 y=-3x-V10 と直線y=
00 テ3*
ONTI
03/10
OA 10
Tao
OA
MO
の交点である。
-3x-V10 =
-xより
X=
V10
よって
y=ー
10
3/10
10
V10
したがって P(-, -)
10

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

aporon

内積の最大や最小を考えるときに長さが固定されていれば、成す角θをもとにcosθについて考えればいけまずか、長さが固定されているベクトルではないので、かなり面倒

今回の問題であれば、kと置き換えることで
k=-3x-y-3と直線の方程式とみることが可能(直線の標準形)

一般形にかえればわかるけど、k+3がy切片になっているので、その高さが最大になるわけだから議論がめっちゃ楽になる

もともと

勝手にkと置くことに抵抗があるのですが💦

aporonさんの説明の最初2文はどういうことでしょうか？何故長さが固定されていれば求められるのですか？

aporon

x+3=kと置くことと何も変わらないと思いますが、、、

例えば、長さが2と長さが5のベクトルの内積は
2×5×cosθで求まりますよね
となれば、後は、cosθの変化によって内積の値が異なりますね

もともと

たしかにそうですね！

丁寧に解説していただきありがとうございました✨