Question

遥

f(x)=1/(1-x)の第n次導関数が計算すると
(-1)^n (n+1)/(1-x)^n+1になります
しかし回答は写真の通りです。どう計算したら答えのようになりますか？
ちなみにマクローリン展開の問題なのでnがkになっています

に仔在する.
k!
fla) (2)
であるから
(1-2)+1
f(k) (n)
olo
11.1

高次導関数 微分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

にゃんこ

f(x)=1/(1-x) ならば，

f'(x)=-1/(1-x)²

f"(x)=-1·(-2)/(1-x)³

f⁽³⁾(x)=-1·(-2)·(-3)/(1-x)⁴

f⁽⁴⁾(x)=-1·(-2)·(-3)·(-4)/(1-x)⁵

・・・

f⁽ᵏ⁾(x)=(-1)ᵏk!/(1-x)ᵏ⁺¹

ですね

哲治

テキストどおりに(-1)^kは不要です。

にゃんこ

哲人さん
おっしゃる通りです😅

遥さん
ベスアン後ですが，訂正させていただきます．🙏

正しくは，f(x)は分数関数なので微分する際に (1-x) の指数が降りてくるのと (1-x) の微分のマイナス符号が打ち消し合って f⁽ⁿ⁾=k!/(1-x)ᵏ⁺¹ となります．

f(x)=1/(1-x)ⁿ=(1-x)⁻ⁿ

f'(x)=( (1-x)⁻ⁿ )'=-n·(1-x)'·(1-x)⁻ⁿ⁻¹
=-n·(-1)·(1-x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾
=n/(1-x)ⁿ⁺¹