基本例題 106 と重要例題 107 では国のタイプを, 基本例題124 では2のタイプを
430
OOOO0
重要
例題125 分数方程式の自然数解
+=1 かつ x<y<z を満たす目然数x, y, 2 の組をすべてい
y
「 23
1
1
1
x
【神戸薬大)
基本 124
CHART
SOLUTION
方程式の自然数解
1 (整数)×(整数) 3 (整数) の形にもち込む
2 不等式で範囲を絞り込む
学習した。
本間の方程式は重要例題 107 (1) と似た形の分数方程式ではあるが, 未知数が3っ
あるため, 分母を払って整数の積の形にもち込むのは無理。
そこで,ここは図の方針でいく。
0.3 0.5
1
1
x, y, zが自然数かつ x<y<zから
1
く
y
x
1
1
1
1
く
x
11
1
1
これを利用すると
2
y
2
x
x
x
これと、++-1 から 3<1<
3
y
2
x
3
2<1 から z>3 となるが, z の値の絞り込みにはならない。
から x<3 となることを利用して,まずxの値を絞り込む。
x
解答
0<x<y<z であるから
y
-0<aく6 のとき
1
1
1
1
く。
ゆえに
1
1_3
x
y
x
6
a
x
x
x
1
1
1
-=1 であるから
y
3
1<
x
x
『よって
x<3
xは自然数であるから
x=1, 2
[] x=1 のとき,等式は +=0
1
1
y
2
これを満たす自然数 y, zの組は存在しない。
[2] x=2 のとき, 等式は
1
1
1
1,1,1-1から。
2y
y
2
の
2
ここで, 0<y<z であるから
1<1
y
1
=2
y
1
1
ゆえに
y
y
y
1
2
のから
2
y
よって
y>2 を満たすものは
y<4
ソ=3
1 1
このとき,Oから
--1-1_1
合×=2, x<y より
1
3
る
2
ス=6
y
2
6
y>2
ゆえに
これは yくzを満たす。
(x, y, z)= (2, 3, 6)
[1, [2] から
(Oを求めるまでは同じ)
0の両辺に2yz を掛けて
合条件を満たすかどうか
の確認も大切。
→Oは重要例題107 (1) と
同じタイプ。分母を払
2z+2y=yz
って
よって
Vz-2y-2z=0
(整数)×(整数)=(整数)
の形にもち込む。
y(z-2)-2(z-2)-4=0
(y-2)(z-2)=4
ゆえに
27
2<y<z であるから
あるから
0<y-2<z-2
x<y<z かつ x=2
(y-2, z-2)=(1, 4)
(y, 2)=(3, 6)
(x, y, 2)=(2, 3, 6)
よって
ゆえに
したがって
最の
(INFORMATION
文字の大小関係が与えられていないときは?
1
方程式
x
1
=1 の左辺は,x, y, 2 のどの2つを入れ替えても形が変わらない
1
(x, y, zの対称式)ので,上で求めた解 (x, y, z)3 (2, 3, 6) の順番を入れ替えた
ものも,すべて方程式を満たす。
y
あるから
ト=1 を満たす, 異なる3つの自然数x, y, zの組をすべ
yる
1
「1
そこで,例えば
x
て求めよ」のような問題の場合は
*<y<z と仮定して解を求め,後からその仮定を外す
(x, y, 2)=(2, 3, 6), (2, 6, 3), (3, 2, 6),
となる。
8S
V
ありがとうございます！何となく分かりました。
すみませんが、ここを教えて欲しいです🙇♀️
急に、この式が来たんですがどこから来たんですか？、