Question

N

n次行列Bの余因子行列の求め方がわかりません。

2
-1
0
0
-1
2
-1
0
0
-1
0
B=
2
-1
0
0
0
-1
2
-1
-1
0
0 -1 2

線形代数

Answer 1

Crystal Clear

n≧3とする。
Bの余因子行列をB~とすると余因子行列の性質から
BB~=(detB)E
ここでBは巡回行列であるから、その固有値固有ベクトルは
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E8%A1%8C%E5%88%97
のようになる。
今回の行列の場合で計算すると固有値がひとつだけ0となる。λ_0=0
固有値たちの積がdetBだからdetB=0　よって
BB~=O
B~の列ベクトルをb1,b2,b3,...,bnとすると上の式から
Bbi=0　(i=1,2,3,...,n)
となるからbiたちはBの固有値0の固有ベクトル。
wikiによると対応する固有ベクトルは(1,1,1,...,1)の定数倍だからbiたちもそうなる。
さらにBは対称行列だからB~も対称行列。よってb1=b2=b3=,,,=bn
ここまででB~の成分はすべて同じ値だとわかった。
あとは(1,1)成分の余因子を求めればよい。
1行と1列を除いた行列の行列式を求めればいいが、この行列は三重対角行列である。この行列式は漸化式で求められる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Tridiagonal_matrix
漸化式を解くと行列のサイズ+1となるのでn-1+1=n
B~はすべての成分がnの行列。
----------------------------------
上の解法はかなり大袈裟だと思う。
たぶん(i,j)余因子を求めるときにi行とj列を取り除いた行列のdetを考えて、それをうまく行と列を入れ替えて同じ形の行列にできる、とかいう方法だと思う。取り除く成分が2,-1,0の3通りで分類する？よくわからん。
---------------------------------
この行列は、バネでつながれたn個の質点(周期境界条件)の運動方程式を考えると出てくる

巡回行列 三重対角行列