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複雑な関数の第 n 次導関数を求めるときは，
n=1, 2, 3 あたりで実験 → 一般項を推測 → 数学的帰納法で証明
の流れが基本です。
ということで，実験していきましょう。
y’=(2logx+1)x
y’’=2logx+3
y⁽³⁾=2/x
y⁽⁴⁾=-2/x²
y⁽⁵⁾=4/x³
となって， n=1, 2, 3 のときと n≧4 の場合に分けて考えられそうです。
n≧4 とすると， y=x²logx の第 n 次導関数は y=2/x （第 3 次導関数） の 第 (n-3) 次導関数と一致するので， 次は y=2/x の第 k 次導関数を考えます。
f(x)=2/x とすると，
f’(x)=-2/x²
f’’(x)=4/x³
f⁽³⁾(x)=-12/x⁴
となるので， f⁽ᵏ⁾(x)=(-1)ᵏ2k!/xᵏ⁺¹ であると予想できます。
次に，実際にこの等式が成り立つことを数学的帰納法によって示しましょう。
k=1 のときは確かに成り立つので，
k=m のとき成り立つと仮定します。
すると， k=m+1 のとき，
f⁽ᵐ⁺¹⁾(x)
={f⁽ᵐ⁾(x)}’
={(-1)ᵏ2k!/xᵏ⁺¹}’
=-(k+1)×(-1)ᵏ2k!/xᵏ⁺²
=(-1)ᵏ⁺¹2(k+1)!/xᵏ⁺¹⁺¹
となり成り立ちます。
よって， f⁽ᵏ⁾(x)=(-1)ᵏ2k!/xᵏ⁺¹ が示せました。
n≧4 のとき， y=x²logx の第 n 次導関数は f⁽ⁿ⁻³⁾(x) ですから，
k=n-3 として， y⁽ⁿ⁾=(-1)ⁿ⁻³2(n-3)!/xⁿ⁻² であることがわかります。
また， n=3 のときも y⁽³⁾=2/x となり成り立っています。
以上から，y=x²logx の第 n 次導関数は
n=1 のとき y’=(2logx+1)x
n=2 のとき y’’=2logx+3
n≧3 のとき y⁽ⁿ⁾=(-1)ⁿ⁻³2(n-3)!/xⁿ⁻².
