Question

テト

an≡19^n+(−1)^n-1・2^4n-3 (mod7)
≡(21−2)^n+(-1)^n-1・2・(14+2)^n-1

この部分ですが、2^4n-3から(14+2)^n-1となるのが何故かわかりません。
普通それだったら2^4n-4じゃないですか？
それとも自分の理解力が足りないのか。
優しい方いらしたら教えて頂けると幸いです。

VEA
TOR
ムりゴ
すべての自然数nに対して、整数
a.= 19" +(-1)"'2""-3 (n=1,2,3 .、
49= 14+5でもいいで
すが 19-1-1ほう
がのちのち計算しやす
のすべてを割りきる素数を求めよ。
いです。
1の他数のかたまりをつく
って消す。
14=0
解法の発想
21=0
=(-F-で
--野
ません。このような場合は
よって =0(mod7)
実験することで問題を理解し解答の方針が浮。
び上がってくることが多いのです。
7の倍数である。証明終
COMMENT
なぜ証明が必要なのか?
そこで、本書でも何度か出てきた
「実験 推測 証明」
数が7だとは論理上,断定できません。
の順で問題を攻略していきましょう。
問題で要求しているのは
P解答
Oまずは実験をします
a,= 19' +(-1)°- 2' = 21 =7×3
a,を割りきる素数は3か7だとわかる。
メで、
4末めるのは、
も7で割りきれることを
ほかの as, a.
のすべてを割りをる
数です。当然末める
素数は、a.を割り
きる必要があります。
示す必要があります。
a= 19 +(-1)' - 2*= 329=D7×47
aを割りきる素数は47か7だとわかる。
のすべての a。 を割りきる素数を推測します
すべてのa,を割りきる素数は7だと推測できる。
少し楽に記述できます。
Q 20-3 をもう一度取り上げ、合同式を用いて解いてみましょ
4a,aのどちらも割り
きる素数は7しかあり
ません。だから、
る素数も7だと推測で
きます。
う。
推測が正しいことを証明します
すべての自然数nに対して, 整数a,は7で
割りきれることを示す。
mod7 のとき,a,を計算して a,==0を目指す。
Theme 22 余りに関する問題Part2~合同式 253
252 第3章 整数問題の重要テーマ
=19"+(-1)"2-(mod7)2 2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

2^(4n-3)=2・2^(4n-4)=2・16^(n-1)=2・(14+2)^(n-1)
です。
ひとつ2を前に出しているのを忘れているだけだと思います。

テト

2を前に出し忘れてるとはどういうことですか？
理解力なくてすみません

Crystal Clear

上に書いた式変形が理解できれば、あとは自分で紙で計算しなおせばできると思いますよ。

テト

理解できないというか、なぜ2が出てきて()内が4n-4になるかがわかりません。
数2bの知識とかつかいますか？

Crystal Clear

例えば
2^5=2*2*2*2*2=2*(2*2*2*2)=2*2^4
などです

テト

もしかしてこういうことですか？

Crystal Clear

はい

テト

なるほど。
指数計算慣れてないんでピンと来なかったです…
手厚く教えて頂いてありがとうございました、解決しました！