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最小公倍数を求める時のことを考えてみてください。
たとえば60と18の最小公倍数を求める時、まず二つを素因数分解します。60=2^2×3×5 と 18=2×3^2
このときは、最小公倍数は180になりますね。
当たり前ですが倍数なので180という値は、60に整数をかけたものでないといけません。18についても同様です。
ということは６０に整数をかけたものなので最小公倍数に2^2が入っていないといけません。
60の倍数ということだけ考えると、3は1乗でいいのですが１８の倍数でもあるので最小公倍数には3^2も含まれている必要があります。
180=2^2×3^2×5
このように最小公倍数を求めるときは、それぞれに同じ素数が含まれているときに指数の多い方を選びますよね。
ということで写真の問題にもどると
片方の数字が24(=2^3×3)で
最小公倍数が360(=2^3×3^2×5)のとき
2については24の素因数分解に含まれる2の指数と一致しているので、考えられる場合としてnに含まれる２の指数も3か、nの方が指数が小さいかです。
なので2について0,1,2,3になります。
3については360に含まれる３の指数が2で24に含まれるものより大きくなっているので、nの方の３の指数に合わせたものと分かります。
(たとえばnの３の指数が0や1なら最小公倍数の指数も24と同じ、1になっているはずです。指数が４以上の場合なら最小公倍数の指数も４以上になっているはずです。)
そして24に含まれていない5が最小公倍数にあることからnには5が含まれることがわかります。
６以上の素数が含まれてはいけないのかについては、今回の最小公倍数には7や9など6より大きい素数が含まれていないからです。最小公倍数に含まれていないものは元の数にも入っていません。
たとえば14=7×2と4=2^2なら最小公倍数は28となり7×2^2と7も含まれます。
丁寧に説明していただきありがとうございました！とても分かりやすかったです！