Question

NANA

微積分の課題なのですが、お力添えよろしくお願いします。

学生番号:
氏名:
問題4 マクローリン近似を利用して極限値を求めよ。(30 点)
cos(2z) - 1+22?
lim
tan-1
lim
log(cos a)
エ-I
lim
エ→0
エ→0
エ→0
3
2?

微積分 質問 課題 数学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

アイス

(1)f(t)=cos(t)とする。x=0における4次の漸近展開を求める。

f′(t)=−sin(t)
f′′(t)=−cos(t)
f′′′(t)=sin(t)
f′′′′(t)=cos(t)

f(0)=f′′′′(0)=1
f′(0)=f′′′(0)=0
f′′(0)=−1

以上より
f(t)=1−t²/2!+t⁴/4!+o(t⁴)
t=2xを代入して
cos(2x)=1−(2x)²/2!+(2x)⁴/4!+o((2x)⁴)
=1−2x²+2x⁴/3+o(x⁴)

cos(2x)−1+2x²=(2/3)x⁴+o(x⁴)
以上より
lim(x→0)(cos(2x)−1+2x²)/x⁴
=lim(x→0)(2/3+o(x⁴)/x⁴)
=2/3

同じ要領で(2)(3)も進めればいいです。