✨ ベストアンサー ✨
弧の長さの比で条件が与えられているところがまたやっかいですね。どうにも扱いにくい。とはいえそれさえ突破できれば大丈夫です。
弧の長さと中心角の大きさは比例します。
弧BCは円周の4/12であるため、対応する中心角の大きさは360°×4/12=120°となります。したがって、
その円周角である∠BACの大きさは、
∠BAC=120°/2=60°
となります。
この調子で他の円周角の大きさも求めて、とりあえず弧の長さの比を、もう少し扱いやすい情報である、円周角の大きさに直してしまいましょう。
弧ABに関して、
∠ACB=(360°×2/12)/2=30°
弧CDおよびDAに関して、
∠CAD=∠DCA=(360°×3/12)/2=45°
ここまで来ればだいぶ解きやすくなります。
角度を書き込んでいけば、簡単な計算でほぼすべての角が求められます。以降、すべての角の大きさが求められているものとします。
AB=√3+1から他の辺の長さを求めていきましょう。
∠ABC=90°, ∠BAC=60°より△ABCは1:2:√3の直角三角形ですから、
BC=√3AB=√3(√3+1)=3+√3
AC=2AB=2(√3+1)=2√3+2
△CDAについても45°の直角三角形であることから、
CD=AC/√2=(2√3+2)/√2=√6+√2
DA=AC/√2=√6+√2
こんなふうに求めておけば、後は簡単です。
弧の長さの比の取り扱いが最も難しいところでしょうね。弧の長さと中心角の関係という知識をうまく使えるかが鍵です。
その後は適当に。
①BD=xとおき、△BCDに余弦定理を用いると、
BC²=CD²+x²-2CD∙x∙cos60°
(3+√3)²=(√6+√2)²+x²-2(√6+√2)x∙1/2
12+6√3=8+4√3+x²-(√6+√2)x
x²-(√6+√2)x-4-2√3=0
x={(√6+√2)±√[(√6+√2)²-4(-4-2√3)]}/2
={√6+√2±√(24+12√3)}/2
={√6+√2±√[(√6+3√2)²]}/2
={√6+√2±|√6+3√2|}/2
x＞0より
x=(√6+√2+√6+3√2)/2=2√2+√6
思ったよりめんどくさい計算でした。二重根号がやっかい。
反応遅くなってごめんなさい💦
お陰様で理解出来ました。丁寧に教えてくださってありがとうございます！🙇🏻♀️
②は簡単。
△BCD=(1/2)∙BC∙BD∙sin∠CBD
=(1/2)∙(3+√3)∙(2√2+√6)∙sin45°
=(1/2)∙(√3+3)∙(√6+2√2)∙(1/√2)
=(1/2)∙(√3+3)∙(√3+2)
=(1/2)∙{(√3)²+5√3+6}
=(9+5√3)/2
③CDFE
C,D,Eについては今までの情報で十分にわかっていますが、問題はFです。交点という条件はまだ使われていないので、ここで交点という条件から情報を引き出します。何でもいいですが、たまたま思い付いたので、
∠ABC=90°, ∠ABF=∠CBF=45°より
BFは∠ABCの二等分線
ということを利用することにします。
このとき、
CF:FA=BC:AB
CF:FA=√3:1
よって、
CF=AC×√3/(√3+1)
=2√3
ちなみに、
四角形CDFE=△BCD-△BEF
で求める方針です。ところが△BEFはCFからは求めにくいので、代わりに同じ面積である△CFEを求めることにします。
△CFE=(1/2)∙CF∙CE∙sin∠FCE
=(1/2)∙2√3∙{(3+√3)/2}∙sin30°
=√3(3+√3)/2∙1/2
=(3√3+3)/4
よって、△BEF=△CFE=(3√3+3)/4
したがって、
四角形CDFE=△BCD-△BEF
=(9+5√3)/2-(3√3+3)/4
=(18+10√3)/4-(3+3√3)/4
=(15+7√3)/4