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単調増加な関数であることを示すのであれば、微分して常にf'(x)>0を言えばよいですよね。例えばy=x²+xがx>0において、単調増加であることを示すなら、微分してやってf'(x)=2x+1であり、x>0において2x+1>1であるから、証明できますね。
同じように、まずこいつを微分してf'(x)を求めます。
手元に紙がなくキーボードで打っているのでミスしているかもしれませんが、おそらく
log(x^2+1)+2x²/(x²+1)
になりますね。
まず、x²+1は常に1以上であり、logの中身が1以上ということは正ですね。それから、後ろの分数関数の項に関しても、分母正かつ分子正なので正ですね。よって、正の数+正の数よりf'(x)>0がいえますね。
ちなみに、f'(x)が正であることは、簡単な一次関数とか、指数関数みたいな自明に正なものであればf'(x)>0といえますが、関数によってはそんな簡単に分からないこともあります。
その時には、もう一度微分して、つまりf''(x)を求めることでf'(x)の増減を調べます。f'(x)が正だと言いたいのでそのためにはf'(x)のグラフの概形がわかれば良く、そのためにはf''(x)を求めればよいということですね。このf''(x)は、決して変極点を求めたいから二階微分しているわけではないことに注意してください。
ご丁寧にありがとうございます！
理解できました