Question

あさの

14の(1)(2)がよく分からなくて質問しました。
(１)はn≧2がなんで出てくるのかとその後の流れ、(2)に関しては全体的に説明して下さると嬉しいです。
よろしくお願いします。

次の式の展開式における, [ ]内に指定された項の係数を求めよ。
*6 第1章 式と証明
13
[x°y2]
[ab°c]
14
一項定理を用いて, 次のことを証明せよ。ただし, nは2以上の整数とする。
n
>2
n
n(n-1)
(2))x>0 のとき (1+x)”>1+nx+
-x?
2
1
例題1
(2x2-)の展開式における x°の項の係数を求めよ。
x
一般項の式 Cra"-"b"において, a=2x", b=-
1
n=6 とおく。
x
指針
展開式の一 般項は
S(?r2)6-7/ 1\

(+Pあ展開式において、 ab? の項の係
15 (1)
展開式の
数は
C。
よって, ab°c3の項の係数は
;CAx)7ー
C,×,C=20-3=60
(2)(x+y)-3z)* の展開式において, 2?を含む項
Cx+y9-3z)?=9.Cメx+y"z?
また, (x+y)"の展開式において, x*yの項の係
x14-2
=xとす
は
よって
両辺のxの指
数は
ゆえに
C」
よって,x°yz? の項の係数は
したがって、
(2 展開式の一
9.C2×,C,=9.28-6=1512
sC/2x
14 二項定理により
(a+b)"=,Coa"+,C;a"-1b+,C;a"-?b?
三
(1) のでa=1, b=ーとすると
1
n
これが定数
=, Co+。
1
+,Cz
n
2
n
よって
1
両辺のxの
n
24
ゆえに
C,>0, ->0 であるから/ n>2のとき
したがって
C2
2
n
n
よって
16 11=
=1C-1
+1C。
=10(1
">.Cot.C-
=2
n
=1+n
n
(2) のでa=1, b=xとすると
(1+x)"=,Co+,C,x+,C;x?+,C;x°

解答編
3
[1] n23のとき
C,>0, x>0であるから
Cgx+………+» C,x">0
1
2
よって,② から
2-2r
(1+x)">»Co+w Cjx+»Cgx?
したがって
m(n-1)
-2
2
[2] 2=2のとき
2から
(1+x)"=, Co+»C,x+»C2x?
5-2r
n(n-1)
Lx?
2
よって
[1], [2] から, n>2のとき
(1+x)"21+nx+
m(n-1)
-x
2
v2
c3を含
15 (1) 展開式の一般項は
の項の係
x14-2
Cx)7-
=,C,-
x"
x14-2r
-= x?とすると
x"
x14-2r=x°x"
を含む項
x14-2r=x2+r
両辺のxの指数を比較して
よって
2
14-2r=2+r
つ項の係
ゆえに
ア=4
したがって, x? の項の係数は
(2) 展開式の一般項は
7C4=35
2
5C,2x95-1
3x?
=;C, 25-(x95-
の
15-3r
x
=;C,-25-
.2r
15-3r
x
これが定数項のとき
=1
よって
x15-3r=x2
両辺のxの指数を比較して
15-3r=2r
ゆえに
ア=3
したがって, 定数項は

数ⅱ 二項定理