苦手というのがどの程度なのか、わからないですが、漸化式に関してはまず基本型をおさえるところからじゃないでしょうか。等差や等比、階差に関しては見た瞬間にわからないといけないですし、わかったとしても解けないのであれば、それは漸化式ではなくてもっと前の段階でつまずいています。それから、特性方程式型の漸化式、例えばa(1)=1かつa(n+1)=2a(n)+3を満たす数列の一般項なんかは、解けて当たり前なので、これができないなら類似問題をひたすらこなしてください。
あとは、いくつか特殊な漸化式がありますが、こいつらもたくさん数をこなして慣れるしかありません。結局特殊な漸化式だって、特性方程式型に持っていくための変形なので、そのあたりを理解しつつ何度も同じ問題を解くことが大切です。隣接3項間漸化式とか連立漸化式も、結局は特性方程式にあてはめるだけなので、そのやり方さえ習得できたらあとは数をこなすというだけですね。
数3の微積なんか特にそうですが、結局数をこなして、当たり前になるまで慣れて、このくらいの変形がパッとできないと意味がないです。共通テスト(旧センター)などだと漸化式を解けみたいな問題もありますが、2次試験だと場合の数や確率と絡めたり、数3で極限にとばしたりなど、解くことはできる前提の出題も多いので、頑張るしかないです。
参考になりそうなもの、貼っておくので、これらを参考にしながら頑張ってみてください。
https://examist.jp/category/mathematics/recurrence-formula/
https://youtube.com/playlist?list=PLDaIUKhKMpbg8k3JqpwttTPX7saFqSM_Y
https://youtu.be/FNMnLJwWiso
帰納法に関しても、慣れといってしまえばそれまでですが、いつ使うのかのタイミングと、どうやってk+1番目が成立することを示すのかの考え方さえ掴めば、漸化式ほど苦労しないと思います。
数学的帰納法は、基本的に自然数について成り立つものだと考えればよいです。(問題によっては、n=0を別に示して0以上の数にあてはめたり、n=1,2,3あたりでは成り立たないこともある)
1番目の成立を示すこととk番目の仮定をすることはできると思います。このあとのk+1番目に関してですが、このアプリとかで見てるとよくあるミスがあります。それは、k+1番目の証明をするときに、仮定を用いていないということです。ゴチャゴチャと変形していくうちに、何がなんだかわからなくなるのもわからなくはないですが、この仮定を使っていないと構造上おかしくなります。そういう人にいつも質問への答えとして言うのが、帰納法は常に「仮定を無理矢理使うにはどう変形していけばよいのかを考えることが大事」ということです。ゴールを目指して闇雲に変形しようとするのではなくて、どうやって変形すれば仮定を使えるのかを考えて、例えばnのk+1乗は無理矢理nのk乗とnに分解したり、無理矢理因数分解っぽいことをしたりするということです。あとは、構造上漸化式と帰納法を絡めた問題もよくありますが、これは漸化式というk+1番目とk番目の関係を教えてくれる道具があるわけなので、そんなに難しくないと思います。いわゆる2つ仮定する一昨日帰納法とか全部仮定する人生帰納法みたいな特殊な帰納法もありますが、それは基本ができてからでよいと思います。