Question

M

大問2なのですが
⑵の最後の式のマイナス2とプラス2（波線の部分）はなにをあらわしてるのでしょうか？

29
問題と考え方 解答
北海道大学-
(前期日程)○総合入試(理系)·医 (医 ·保健 〈理学療法 放射線技術科学 検査技術科学))
歯·獣医,水産◇
2月25日
(時間)
120分
(入試科目)
数I·I. I·A·B (列)
(試験日)
三角形 ABC について
= 1, |AC| = 2, BC| = V6
が成立しているとする.三角形ABC の外接円の中心を ○とし, 直線 AO と外接円とのA以外の交点
|AB
一あるか
をPとする。
(1) AB と AC の内積を求めよ。
(2) AP = sAB+ tAC が成り立つような実数 s, tを求めよ。
(3) 直線 AP と直線 BC の交点をDとするとき, 線分 AD の長さを求めよ。
2 座標平面上の2点(高0). (0, )を通る直線!を考える。
(1) 1上にある格子点の座標をすべて求めよ. ただし, 格子点とはその点のェ座標とy座標がともに整
数であるような点のことである。
(2) 1上の格子点のうち, 原点との距離が最小となる点をAとする。また, 1上の A以外の格子点のう
ち,原点との距離が最小となる点をBとする. さらに, Aのェ座標とBのy座標をそれぞれ 座標
とy座標とする点をCとする. 三角形 ABC の内部および周上にある格子点の個数を求めよ。
nを2以上の自然数とする.1個のさいころを続けてn回投げる試行を行い,出た目を順にX1, X2, ·…, Xn
とする。
(1) X1, X2, …, Xn の最大公約数が3となる確率をn の式で表せ。
(2) X1, X2, …, X,の最大公約数が1となる確率をnの式で表せ.
(3) X1, X2, …., Xn の最小公倍数が 20 となる確率をnの式で表せ。
4 aを0<a<1を満たす実数とし,f(z) = sin とする. 数列 {an} が
a1 = a, an+1 = f(an) (n =D 1, 2, … )
2
へ
で定義されるとき,次の問に答えよ。
(1)すべての自然数nに対して, 0< an<1かつ an+1 > an が成り立つことを示せ。
「- an+1 とおくとき、すべての自然数nに対して, bn+1 < bnが成り立つことを示せ。
1- an
(2) bn =
(3) lim an および (2) で定めた {bn} に対して lim bn を求めよ。
n→0
aを正の定数とする, 微分可能な関数f(z) はすべての実数aに対して次の条件を満たしているとする。
f'(t)
n→
dt = ar
0<()<1, -10
{1- f(t)}f(t)
さらに,f(0) = であるとする。
(1) f(x) を求めよ。
88
()田線y= f(z) と a軸および2直線3D0, a=1で囲まれる図形の面積 S(a) を求めよ,さらに
lim S(a) を求めよ。
a→+0

2 (AJI(不定方程式, 直線の方程式)
2V10
7
30
AD
D…· 9
である。
(解答] (1) 直線1の方程式は、
16r + 9y = 1
よ
であり、のは、
16(z-4) = -9(y+7)
と同値変形できる。
であ
**ャャ…
き,2より、
Jェ-4=-9k
ly+7= 16k
(日)
です
となる整数kが存在する。
AC
よって、1上にある格子点の座標は、
とそ
(-9k + 4, 16k-7)(k は任意の整数)
がすべてである。
(2)(1)で求めた1上の格子点と原点との距離をdと
すると、
d = (-9k + 4)? + (16k - 7)?
= 337k? - 296k + 65
で
で
こは、
C) =
2
148
= 337|k -
337
1482
337
+65
である。これをkの関数とみてグラフを考察すると、
3
軸がk=
で、
148
以
の下に凸の放物線であり,(1)
337
148
0<
で
337 くく1
に注意すると、Pは,
日 k3D0のときに最も小さい
k=1のときに2番目に小さい
ことがわかるから,(1) の結果より,
A(4, -7), B(-5, 9)
で
(3
な
であり、それゆえ,
C(4, 9)
である。
よ
B(-5,9)
さらに、D(-5, -7) とすると, 四
角形 ABCD は各辺が座標軸に平行
な長方形であり、
*AABC の内部および周上の格子
点の個数と△ABD の内部および
周上の格子点の個数は等しい
*線分 AB上には点Aと点B以外
に格子点は存在しない
ことから, 求める個数は,
C(4,9)
ある
D(-5, -7) A(4,-7)
+2
= (170 - 2) +2
へ
M s
= 86
である。
の( ()