Question

佐藤

助けて欲しいです。お願いします。

Aをn次正方行列とする。
(1) B=}(A+tA)は対称行列であること、 C=D}(A-tA) は交代行列であることを示せ。
(2) 正方行列 Dが対称行列でもあり、交代行列であるならば D=0であることを示せ。
(3) 行列 Aは対称行列と交代行列の和で、一意的に表されることを示せ。
(「一意的に」とは:例えば正則行列 Aの逆行列は一意的に決まる。 教科書P.34 の逆行列の項目
参照。例に挙げると、Aの逆行列を2つ取ってくると、その2つは一致するという事である。)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

よんよん

(1)
tB=B
tC=-C
を示しましょう
(2)
tD=D かつ　tD=-Dなので
D=-D
よって D=0
(3)
[和で表せることを示します]
任意の正方行列Aに対して(1)のようにB,Cを定めれば,
A=B+C
と, 対称行列と交代行列の和で表せる.
[次に一意性を示します]
A=B1+C1 = B2+C2 (B1,B2 は対称行列, C1,C2は交代行列)
と二通りに表せるとすると
B1-B2=C1-C2
ここで右辺は交代行列, 左辺は対称行列なので,
(2)から　右辺=左辺=0
よって　B1=B2, C1=C2

よんよん

誤りがありました(17行目)
誤　B1-B2=C1-C2
正　B1-B2=C2-C1