少し工夫してやる方法もありますが、そんなに計算量が変わるわけでもないと思うので、とりあえずストレートに解きます。(以下、写真①を見ながら読んでください)
まず3つ展開します。すると上手い具合にa³とb³とc³が相殺しあって消えます。すべて係数に3がいるので、くくっておきましょう。(前にマイナスがくるのが気持ち悪いので少し順序を入れ換えた)
あとは因数分解の基本に則って計算します。「2つ以上の文字を含む因数分解では、最低次数の文字に着目して整理する」というものですね。この式はどの文字に関しても対称な式なので、どれでもよいですがaについて整理します。因数分解できるところは因数分解すると、同じ形が出てくることがわかります。b-cが-(c-b)であるということに気づけるかもポイントです。c-b=Xとでも置けば、共通因数Xでくくれて、残りの部分は中学校で習った公式で因数分解できます。これからの高校数学ではまあまあ複雑な計算が出てくることもあるので、このくらいの計算はできてほしいです。
補足
-XY=...であるから
の部分は不要ですね。
別解です。最後文字をもとに戻すのを忘れましたが、答えとしては同じです。
答えとしては、最初の文字の置き換えを最後まで貫いており、a,b,cが出てこないスマートな計算なので、こっちの方が綺麗と思います。
ですが、これは「結果から逆算」した綺麗な回答であって、順当に前から考えて思い付くものではないと思います。特に「①よりzを消去」としたのは赤波線の部分がXとYだけの式になることを結果から知っていたからです。
問題集なんかにはこういう綺麗な回答が載っていることもありますが、やっぱり普通に最初にやったある意味人間的な泥臭い解き方の方がよいと思います。