Question

あ

この問題の2枚目の写真で変形する時に両辺に(x-1)があるので消してると思うのですが、x=1の時の確認はしなくても大丈夫なのですか？いきなり両辺を(x-1)で割ってもいいんですか？

列題 57
n次式の割り算
ふは自然数とする。"ー1を(x-1)"で割ったときの余りを求めよ。
00 を+1で割ったときの余りを求めよ。
(2) 類愛媛)
一例題 54
基本等式4=8Q+R 次数に注目
CHART 割り算の問題
(1,(2) ともに割る式は2次式であるから, 余りは ax-+b とおける。
(1) 割り算の等式を書いて=1 を代入することは思いつくが、 それだけでは足りた
そこで、恒等式
a"ーが=(a-b)(a"-1+a"-b+ +ab" +6) [次ページ [参考参照
を利用する。
(2) -(x*+1)Q(x)+ax+b に、 x"+1=0 の解である x=i を代入して、
複素数の相等条件 A, Bが実数のとき A+Biー0→A=B-0
を利用する。
80
(1) x-1を(x-1)"で割ったときの商をQ(x), 余りを
ax+bとすると、次の等式が成り立つ。
x"-1=(x-1)"Q(x)+ax+b
割り算の基本
A=BQ+
の
両辺にx=1を代入すると
0=a+b すなわち 6=-a
これをOに代入して
4(x-1)Q(x)
x"-1=(x-1)°Q(x)+ax-a
=(x-1)((x-1)Q(x)+a}
ここで、x"ー1=(x-1)(x"-1+xm-2++1) であるから
xー1+x"-2+…+1%3(x-1)Q(x)+a
この式の両辺にx=1を代入すると
はn個ある。
よって
b=-a であるから
b=ーn
a=n
ゆえに,求める余りは
参考次のように考えてもよい。
nx-n
ここで, P(x)=x"ー1+x-2
x-1で割ったときの余りは
+x+1 とおくと、P(x)を
4刺余の定理。
よって、P(x)をx-1で割ったときの商をQ(x) とすると
P(x)=(x-1)Q(x)+n
両辺にx-1を掛掛けて
(x-1)P(x)= (x-1)"Q(x)+n(x-1)
(x-1)P(x)=x"ー1 から
x"-1=(x-1)"Q(x)+n(x-1)

これを1に代入して
x"-1=(x-1)'Q(x)+ax-a
=(x-1){(x-1)Q(x)+a}
ここで、x"ー1=(x-1)(x"-1+x"-2t +1)であるから
xリ-1+x"-2+ +13(x-1)Q(x)+a