15) 次の各問いに答えよ.結果のみではなく、考え方の筋道も記せ。
6個の文字A, A. B, B. C. Cを1列に並べる順列を考える。
(i} 順列の総数を求めよ。
() 1番目の文字が A,2番目の文字がBである順列ABOロロロの
うち同じ文字が隣り合わないものを樹形図としてすべて書き出せ、
(i) 求める街形図は次のようになる。
A-C-B-C
A-B
B-C
(答)
全(注)1°
A-Bく
C-B
A-C
B<
C-A
() 同じ文字が隣り合わない順列の総数を求めよ。
(2) ある病院で月曜から土曜の6日間の
午前·午後の診療を3人の医師a. b.
cでかわるがわる担当することになり、
右のような出勤表を作ることになった。
ただし、3人の医師の月曜から土曜まで
() 1番目と2番目の文字の選び方はP2通りあり.3番日以降の文字の順
列はどの場合も5通りずつあるから、求める順列の絵数は、
3P2×5=3·2×5
やA, B, Cは対等
一積の法則
月火水|木|金土
午前a
= 30
(答)
b
a
b
C
である。
(2) 問題文中にある出勤表の表し方で、
午後」b
C
a
C
a
b
(日曜は休診)
|をA. をB
Aはaだけが出勤しない場合.
B.Cも同様、
の診療回数が4回ずつで同数になるよ
をC、
をB、
うにする。
(i} 6日間すべて午前と午後に同じ医師が担当するような出勤表は何通
り作れるか。
() 6日間すべて午前と午後に異なる医師が担当するような出勤表は何
通り作れるか。
() どの3人の医師も,2日以上連続して出勤することがないような出
動表は何通り作れるか。
をB.またはを
b
b
または
C
をA、
a
C
または
C
b
a
(注)2°
と略記すると,問題文中にある出勤表の例は順列CAACBB に対応する。
以下,この略記を用いて,A, B, C. A. B. Cから重複を許して6個とっ
た文字の順列を考える。
(i)題意を満たす出勤表は, A. A. B, B. C. Cの6個の文字の順列に対
応するから,その総数は(1(i)より、
90 通り
(答)
(50 点)
である。
(i)題意を満たす出勤表は、A, A. B. B, C. C の6個の文字の順列をつ
くり,その各々に対してA. B. Cの午前と午後の担当の入れかえを考え
たものであるから、その総数は,
90×2°= 90 ×64
【考え方)
(1Xi)同じものを含む順列の公式を利用します。
() 最初の異なる2文字がA. B以外の場合も順列の数は同じです。
(2)(i)午前·午後がともにaの担当である場合を1文字Aで表すことにし,
B, Cも同様に定義します。すると出勤表は
"A, A, B, B. C, Cの6個の文字の順列”
に対応することから(1Xi)が利用できます。
(i) 6. cの2人だけが出勤し、aが出勤しない場合をAと表すことにし、
B,Cも同様に定義します。すると出勤表は
“A, A, B, B. c. Tの6個の文字の順列”
A. B. Cは対等
(答)
『たとえばABならばaが2日
連続出勤となる. ABならばc
が2日連続出勤となる、 AA
ならばb.cが2日連続出勤と
= 5760(通り)
である。
()「出勤した次の日は出勤しない」ような6文字の順列は,隣り合う2文
字が、
なる。
『(1)は a, b. cともに2日出勤
(Iはaが2+2回 (2日出勤)、
b.cが2+1+1回 (3日出勤).
この他に,a, b, eが4回診
療するときの紙合せは、
A. A, B, B. C、 で
A. A. B. B. C、 で
A, A, A. A. A, A
A. A. A. B. B. B
A. A. A, A. B、こ
などが考えられるが、 いず
(S), (TI, (U以外の隣り合う
字が必ず現れるので不適
と
“午前と午後の担当者の入れかえ”
を組み合せて考えることができます。
()(i),(i)で考えたA, B, C, A, B. Cがどのように並んでいればよいか
を考えます。
(口. △は A, B, Cのうちいずれか1文字が入り, 口と△には異
なる文字が入ることを表す)
のいずれかの型に並んでいる場合である。
a, b, Cいずれも4回診療するときのA. B, C, A, B. C の組合せで
あり得るのは、
(I) A, A, B, B, C, C
【解答)
(1Xi) A2個, B2個, C2個の合計6個の文字を1列に並べる順列であるから,
求める総数は、
(I) A, A, B, C, A, A
-Aを何番目に並べるか,残り
4つのうちBをとどこに並べるか
と考えて、
m A, B, B, C, B, B
(IV) A, B. C.C. C, T
の4通りである。
(S), (T), (U)を満たす並べ方を(1からMまでについて順に考える。
6!
2!2!2!
6.5.4.3 - 90
2.2
(答)
6C24C22C2
である。
としてもよい。
ーの数 16 -
-0数 17-
