Question

ぱぱ

数学の質問です

この問題の⑴なんですが、解説の解法1.2の最後の結論のところで、なぜl(k)＝…と言えるのか、何を根拠に言ってるのか、さっぱり分かりません
本当にわからなくて困ってます
ご回答お願いします

67 xy 平面上に3点A(1,0), B(0, 1), C(2, 1) が与えられている。点P は
線分 BA 上を, 点Qは線分AC上を, 同時にそれぞれPはBを出発してA
まで,QはAを出発してCまで, 同じ速さで進むものとする。
このとき,線分 PQ がおおう図形をFとする.
(1) 図形Fと直線×=k(0<ks1)との交わりである図形の長さ 1(k) を求めよ.
(2) 図形Fの面積を求めよ。
(3) 図形Fを×軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ.
(山形大)

N。
67(解答)
sるtさ abld+x-
(1),条件から, P(t, 1-t) とすると
コー
x=k
bd-x5
B
1ト
よって,直線 PQ の方程式は
y=(2t-1)(x-t)+1-t.
なtial
P
ここで, x=kとし, kを 0Sk<1 で固定し bld+1-k
F
Q
y=x-1
て,tを 0Stハえ の範囲で変化させたとき,
|(¥)7
1 t+1
0
t
|2 x
リ=f(t)=-2t+2kt-k+1
A
2
k
2k+1
ミー
2
のとり得る値の範囲は
r0-1-ksysーキ+1=)
S(0)=1-kSyハ-
ーR+1=f\
2
2ノ
そのは
: 1(k)=-k+1-(1-k)=D5.
k?
2
(答)0
2°
(1)2 直線 PQ の方程式は
1新 ()

y=(2t-1)(x-t)+1-t=-2t°+2xt-x+1
x2?
2
-2(t-)+号ーx+1s号-x+1.
=ー
TOA
…D
よって,直線PQ は, つねに放物線 y=
ーx+1 に接する。
2
x
これは①から明らかである。
.2
(:) ーx+1-(12f2+2xt-x+1)=}
ト1)=D2(t-号)であるから,
2
点(2t, 2t°-2t+1) で接する.
また,tが 0<ts1 の範囲で変化するとき,
日]
点P は線分 BA: y=1-x (0<x\1) 上を,
動く。
点Q は線分 AC: y=x-1 (1ハx^2) 上を
よって,線分PQ の通過領域 F は前図の周を含む網目部分 F であるから, F
と直線 x=k (0<k<1) との交わりの図形の長さは
-ール+1)-(1-)-5.
(答)
2°
(2) 図形 F は直線 x=1 に関して対称だから, その面積 S は
S=2["人A)dk%=-
(答)
3°
0
(3) 図形 F の対称性より, 回転体の体積を V とすると,
=2π
Jdk
V=2
4

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