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乗法定理
P(A∩B)=P(A)×PA(B)
のPA(B)というのはAがおこった上でBがおこる条件付き確率ですが, AとBが独立であればPA(B)=P(B)となるので, 単に独立試行の確率となります。これだけだとわかりにくいかもしれないので具体例を書いておきます。
例えば, 写真の問題を考えます。簡単な問題ではありますが, 解答を書いておくと
(i) 3/5×3/5=9/25
(ii)3/5×2/4=3/10
ですね。
(ii)において, 2/4は言わずもがな条件付き確率(1回目に赤が出た上で2回目に赤が出る確率)です。一方(1)においては, 条件付き確率を習っていなかったとしても独立試行なので解ける問題です。しかし, これだって「1回目赤を取り出した上で2回目赤を取り出す条件付き確率」と見なすこともできますよね。ただ, この場合は独立、すなわち1回目の試行が2回目の試行に影響を及ぼさないから, 条件(1回目赤を取り出すこと)があろうとなかろうと2回目に赤を取り出す確率は結果的に同じなのでわざわざ条件付き確率なんて言っていないだけです。つまり, 条件付き確率を習って乗法定理を習ったあと, 独立試行の確率は乗法定理の特殊ver.であると見えないといけないと思います。
もしかしたら, 少し解答してほしいこととピントがずれているかもしれないです...そうならばすみません。
素晴らしい回答ありがとうございます！
申し訳ありませんが、場合の数を比でかんがえるとはどういうものでしょうか？
単純に, 場合の数/場合の数 で考えるということです。
上の問題だとわざわざ乗法定理を使わなくても
3C2/5C2
で解けますよね。この場合, どの玉を取り出すことも同様に確からしいので, この考え方でOKです。
要するに, 確率で確率どうしのかけ算を使う解法をとるときは, 条件付き確率の問題かどうか考えなくても結局乗法定理1本で解けるということです。しかし, 独立か否かというのは少し難しいので, 基本的には場合の数の比で処理する方針で, それが難しいときに乗法定理を用いたらよいと思います。場合の数の比を使うときに注意しないといけないのが, 分母と分子がおのおの等確率でおこる, すなわち同様に確からしいか否かという問題が付きまとってくるということです。(例えばコイン2枚を投げたとき表と裏1枚ずつとなるのが(表×2)(裏×2)(表裏1枚ずつ)の3通りのうちの1つとするとこれらは同様に確からしくないので×)同様に確からしい状態に持っていけないときは, 乗法定理を使わざるを得ません。