Question

あほ

一つ目の模範解答の(i)で、
PはOKを直径とする円x^2+(y-1)^2=1のOとK以外の部分を動く
とあるのですが、なぜ上記の円と言えるのでしょうか…お願いします😭

2
円C:°+y?=9 と直線1:リ=mx+2 (mは定数)が異なる 2点A. B
で交わるとき, 線分 ABの中点Pの軌跡を求めよ。
円Cは原点中心、 半径3の円である。
Lは(0-27を通る直線であり、CO、2)は
円Cの内部にあるので、LとCは
mがすべての実軟値をとって変化するとき、
B
P
-3
さもそ

2
目標点
原点を0とし、 K(0, 2) とする。
ここがポイント
点Pの軌跡を求める問題
であるから、点Pの座標
を(X, Y)とおき、X, Y
の間に成り立つ関係式を求
めるのが基本であるが、こ
の方針はやや高度な計算を
必要とする。
8点
円C:+が19, 直線:ー mr+2
Cは中心が原点Oで、半径が3の円であり, 1は傾きがmmで, 点K
を通る直線である。
A3
そこで、解答のように、
1.直線は mの値に関係
なく定点K(0, 2)を通る。
2. Pは円Cの中心から
直線1に下ろした垂線と
1の交点である。(すなわ
ち、2OPK = 90°)
という図形的性質に着目し
て考えることによって, 簡
単に点Pの軌跡を求める
ことができる。この方法を
マスターしてほしい。
C
NK
P
0
Nは円での内部の点であるから、 ルがすべての実数値をとって変化
するとき、Cと1は常に異なる2点で交わる。」この記述に5点
ただし、1はy軸と平行にはならない。
(1) mキ0 のとき、PはO. Kのいずれとも一致せず。
2OPK = 90°」これに5点
である。PはOK を直径とする円 デ+(u-1)=1 のOとK以外
の部分を動く。」()の軌跡に5点
一般に,定点 A, Bと動点Pが
あるとき、
ZAPB = 90°
→ Pは線分 ABを直径とす
る円の周上(A. Bを除く)
(H) m=0 のとき,PはKと一致する。」(mの軌跡に5点
(i),(i)より、点Pの軌跡は円 +(yー1)?=1のO以外の部分。
よって、求める軌跡は、
にある
中心が(0. 1). 半径が1の円の原点以外の部分。……(答)」
答えに5点
ここがポイント
【別解)
別解は、まず、X, Yを②.
ののようにmの式で表し、
そこから mを消去して, X,
Yの関係式を求める方針で
y= mz+2 をr+y* =9 に代入して、
+(mz+2)* ==9
(m"+1)+4mnr-5 =0 …….①
ある。
m"+1キ0 より. ①はrの2次方程式であり,判別式をDとすれば、
のが異なる2つの実数解をもつ
ことから、mのとりうる値の範
囲を求めようとしたが、常に
D>0 が成り立つので、mは任
意の実数値をとることがわかる。
D
4
= 9m?+5>0
よって、すべての実数 mに対して, ①は異なる2つの実数解をもつ。
すなわち,すべての実数値mに対してCとしは異なる2点で交わる。
のの解
この記述に5点
このとき,①の異なる2つの実数解を a, B とすると, A, Bは1上-
-2m土(9m* +5
m+1
のは煩雑なので、 X、 Yが2解
の和で表されることに着目しよ
う。解と係数の関係を利用する
ことによって、別解のように要
領よく解くことができる。
を用いる
の点より,その座標はそれぞれ (α, ma+2), (B, mB+2) とおける。
点Pの座標を(X, Y)とおくと, Pは線分 AB の中点だから、
イ=+B
2
CH