✨ ベストアンサー ✨
まず、定義域というのはxの変域のことで、値域というのはyの変域のことです。
当たり前かもしれませんが、関数y=x²-4x+5自体は軸をx=2とし、頂点を(2,1)とするような関数であり、こいつは常に動きません。
今考えるのは関数y=x²-4x+5の定義域0≦x≦aの部分です。すなわち、関数y=x²-4x+5のうちx=0とx=a(aは正の値)の間だけ考えてくださいと言われているんです。
例えば、a=1なら0≦x≦aは0≦x≦1になるので関数y=x²-4x+5自体は続いているけど、写真の色のついた部分だけ考えてくれということになります。
実際はaは1だけでなく色んな値をとりうるので、写真のように左端(x=0)は変化せずに右端だけが変化していきます。
この問題では、違いますが、例えばa≦x≦a+2と言われたら、幅を2に保ちながら右端も左端も移動していくことになります。
ここまで問題の意味を説明したのですが、わかりますか？
問題の意味はおそらくわかったと思うので解いていきます。
最大値と最小値を一気にやると頭のなかがぐちゃぐちゃになるので、最大値から説明します。
aが0から増えていって定義域が大きくなっているイメージを持ってください。
まず、写真の1枚目のように、aが0に近いとき、グラフは単調に減少しているので、最大値は常に右側のf(0)です。このままaが増え続けてa=4にきたとき、ちょうどf(0)とf(a)がともに最大値となり、それよりもaが大きくなったら常に軸の右端が最大となるのでf(a)が最大となります。
解答では軸x=2と定義域の真ん中の値a/2の比較をしています。これは2次関数が軸にたいして対称なので、軸と定義域の真ん中がちょうど重なるときに、同じ高さになるということですが、この問題ではそこまでしなくても、a=4のときに同じ高さになることはわかると思います。(定義域の両端が動くときは軸と定義域の真ん中を比べる)このようにaの値によって場合分けをすれば、答えが求まります。
最小値について
1枚目のように、aが0に近いときは、グラフが単調に減少するので、軸の右端f(a)が最小値となります。2枚目のようにa=2のとき、グラフの頂点が最小値となります。それ以降、aが増え続けても、グラフは単調に増加するので常に頂点f(2)が最小値となります。
よってaが2より小さいか大きいかで場合分けすると答えが出ます。
一応丁寧に解説したつもりですが、わからないところがあればコメントしてください。
本当に分かりやすかったです！
今からもう1回解いてみます！
何かあったら、質問させていただきます！！
ありがとうございます！
質問なんですけど、最大値の場合分けで、0<a<4の時ってX=0の時が最大値だと0はaの中に含まれてないのはどうしてですか？？
あまり質問の意味がわからないんですが、「0<a<4のとき最大値をとるのはx=0のときだと書いているが、0≦a<4ではなく0<a<4であるのはなぜか」ということでしょうか。
そうだとすれば、そもそもaは正の定数と問題が言っているのでa=0にはならないからです。
なるほど！そうですか！
ありがとうございます！
軸は動かないで、定義域aの右端がだんだん右へいく感じだとわかりました！