数列です画像の問題の(2)のマーカーで囲っている部分についてです

数学

高校生

解決済み

約4年前

あ

数列です

画像の問題の(2)のマーカーで囲っている部分についてです
なぜここでいきなり和をつくったのでしょうか…

私には和をつくるという発想が無くて、対数に直した後先に進めませんでした。

今後似た問題に出会った時のために、この対数の式のどこに着目して和をつくる発想に至ったのか教えていただきたいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

数列 {a)を次の瀬化式によって定める。 4;=1,a2=3,aォ+24m=2(4m+1) (n%3D1,2,3,…) (1) すべての正の整数 n について,「a,は正であることを不せ。 (2)一般項 a, を求めよ。

an+2lは公比2の等比数列で,初項はニ=ニ=3 である料看護学 3 数列 a。 a」 aw+1=3-2"ー1 |4 から a。くアここで(1)の結果より,すべての正の整数nについて、 a,>0かつa+1>0 であるから,両辺の2を底とする対数をとると a+1 = log,3.2"-1 0 2 にもの 1 10g2 a。のの | log,4+- log.l,= log,3-2*-1 りにこまでの別解】 Gg+24,=2(a,+1)?において, (1)より a,>0,a,+1>0, ag+z>0 そあるから,両辺の2を底とする対数をとると log24g+29, = log:2(a.+)? log,4g+2 + log2a,= log22 + 2log2ag+1 log.a,+2- log2aw41=log2@,+1 -log2a, +1 ここで,b,=log20m+1 -log24, とおくと b+1=b,+1 であるから,数列{6}は初項がb,= log242-log,a,=log;3 , 公差が1の等差数列である。よって, b,=log23+1×(n-1)=n+log23 -1 く> (1 文の = log,2" + 1og23-1og2 = log22 2"×3 -=log,3-2"-1 すなわち, log2ag+1 - log2a,=log,3-2"-1 (解答の続き) よって, n22のときガ-1 -1 2(log24+1 - log24,)= © log23·24-1 k=1 が成り立つ。ここで左辺= (log242 -log241)+(log24g-log242)+…(log24m-! - log24,-2)+(1og24,-log2@ォ-1) =log24,- log2a」 =1og2a,- 1og21=log24。右辺= log,3-20 +log,3-2' + log,3-22+…+log,3-2"-2 = log。(3-20×3-2'×3-2°×…×3-2*-2) = log23"-(2°×2'×2°x…×2"-2) (第-2-11 = log,34-1.20+1+2+… (w-2)= 1og,3"-1.2 M-2月-1) よりゆえに, log24, =log23"-1,2 <メインディッシュ> (1) 数学的帰納法で示す。 (i) a=1>0, a2=3>0であるから, n=1,2のとき, a,>0は成り立つ。 (i) 2=k,k+1のとき, a,>0が成り立つと仮定する。つまり,a,>0かつa+>0 このとき,a+20,=2(aw+)?においてn=kとおくと a4424,=2(a+)?であるので, これよりリ-2-11 a,=3"-1.2 くデザート> 最後まで解き切るには確かな計算力が必要である。 (1)はぜひとも完盤したい。n=k のときとn=Dk+1のときに同時に成り立つと仮定して 1=k+2 のときに成り立つことを示す数学的帰納法は, まだあまり染みがないかもしれないが頻出である。(1)は(2)で対数をとるときに真条件を満たしていることを保証するための問題である。 (2)は別解のようにそのまま対数をとるか, 解答例のように一仕事し式変形後に対数をとるかであるが, やはり一仕事してからの方がやや 2(4 a4+2= a。よって,n=k+2のときも, a,>0が成り立つ算は楽であるようだ。また, log2- n+1をlog,Qn+1- log24m と差 a。以上iXi)から数学的帰納法により, すべての正の整数nについて, a,は正である。形に直せるかどうかが鍵である。いずれにしても, 完答できればかな力があると言ってよいだろう。 (2) 4,424,%=D2 (4ョ+)? より, a月+2 =2 a月41 Qm+1

回答

✨ ベストアンサー ✨

うどん

約4年前

log₂a[n+1]−log₂a[n]＝log₂3×2^(n−1)･･･①は
a[n+1]−a[n]＝3×2^(n−1)･･･②に似てるきがしませんか？
そうです。階差数列の考え方を適応したのだと思います。
②の右辺は、∑[k＝1→n−1](a[n+1]−a[n])＝a[n]−a[1]
ゆえに、−a[1]を移項して、
a[n]＝a[1]+∑[k＝1→n−1]3×2^(n−1)と解けます。
これを①式に適応させたのだと思いますよ！
間違っていたらすみません💦