Question

IK

この、1枚目の波線の部分ってなぜ例題103では言われてないのですか？

ついて
171
題 104 円と直線の交点を通る円
X円x+y°=50 と直線 3x+y=20 の2つの交点と点(10, 0) を通る円の中心と
;2次とし
24=
半径を求めよ。
一例題103
指計 円と直線の交点を通る図形に関する問題でも,基本方針は例題 103 と同じ。
CHART f=0, g=0に対し、kf+g=0(たは定数)
3章
して解決。
fと略記
2は定数
-こでは,円と直線の交点を通る図形として,次の方程式を考える。
17
x*+y?-50+k(3x+y-20)=0 …… 0
お2つの円でも起こりうることであるが、円と直線が共有点をもたない場合でも
キの=0 から、,円の方程式が導かれてしまうことがある(p.173参照)。
よって の方程式を考える前に、2つの交点が存在することを,点と直線の距離の公式を
用いて確かめておくとよい。
2
つ
の
円
A
A
|3x+y=20
で6 (07213
てない?
1?
解答 円の中心と直線の距離は
20
-=2、10
V10
|-20|
V3+1°
52
-52
5,2
円の共
線の旅
これは、
山に
代入。
〒2つの交点」の存
在を確認する。
=V40
V50-
40<、50 であるから,この円と直
0
円の半径は
(10,0)
線は2点で交わる。
次に,んを定数とし,次の方程式が表す図形を考える。
ニカが +y?-50+k(3x+y-20)=0……… ①
のは,与えられた円と直線の交点を通る図形を表す。
のが点(10, 0)を通るとして, x=10, y=0 を代入すると
会
と同じ
の。
k(x*+ア-50)
+3x+y-20=0
でもよいが、①のよ
うに,x, yの1次式
である直線の方程式
にんを付けた方が後
の計算がらく。
50+10k=0
これを解いて
のに代入して
k=-5
x+ y?-50-5(3x+y-20)=0
x°+y°-15x-5y+50=0
(問題文が単に「円の
方程式を求めよ」と
いった場合,(*)の
形で答えとしてもよ
いが、(-15)+(一5)?
-4-50>0 であるこ
と(b.154 参照)を
確認しておく方がよ
整理すると
25
すなわち
x
中心()
半径-
'15
5
したがって
2
2
5
5/2
V2
2
い。

170
例題 103
…… (2 について
2円の交点を通る円
の, x+y°-8.r-4y+4=0
) 2円の共有点の座標を求めよ。
(2) 2円の共有点と点(1, 1)を通る円の中心と半径を求めよ。
2つの円 x+y?=4………
(1) 2円の共有点の座標 → 連立方程式の実数解 を求める。本問のような2次と2なa
(2)(1)で求めた2点と点(1, 1) を通ることから,円の方程式の一般形を利用して解決で
2点で交わる2つの円 f=0, g=0 に対し 方程式 kf+g=0(k は定数)
連立方程式では、1次の関係を引き出すとよい。そのためには,①の
に代入する,あるいは①-② から2次の項を消去するとよい。
=Aを
指針
るが、ここでは、p.168 基本事項2を利用してみよう。 (x, y) をfと略記
つまり, 2円0, ②の交点を通る図形として,次の方程式を考える。
(x°+y?-4)+(x*+y?-8x-4y+4)=0
この図形が点(1, 1)を通るとして,x==1, y=1 を代入し,kの値を求める。
CHART 2曲線 f=0, g=0 に対し,kf+g=0(kは定数
解答(1) 0-②から
8x+4y-4=4
A3は,2円の共有法
を通る直線の方程
である。これは、
の解答のAに
k=-1 を代入して
得られる式と同じで
ある。
よって
ソ=-2x+2
これをDに代入して
x°+(-2x+2)?=4
整理して
5x-8x=0
8
これを解いて
x=0,
5
エー0のとき y=2,エーのとき y=-
6
=-のとき y=ー
3から
5
5
日 (
6
したがって,共有点の座標は
5
(2) をを定数として,次の方程式を考える。
た(x°+y?-4)+x?+y?-8x-4y+4=0
のは,(1)で求めた2円①, ② の共有点を通る図形を
表す。
図形のが点(1, 1)を通るとして, Aに x=1, y=1
A
2V1,1)
の
ー2\0
12
を代入すると
-2k-6=0
-2
よって
k=-3
く
x*+y°+4x+2y-8=0
これをのに代入して整理すると
(x+2)+(y+1)?=13
中心(-2, -1), 半径 13
すなわち
したがって
与えられた2円が共有点をもたないときも方程式④の表す図形は存在するときがあるか
問題文に(1)がない場合は, 2円が共有点をもつこと面

Answer 1

田中真紀子

103は(1)で交点が存在することを調べています。

IK

なるほど！
では(1)がなく、(2)のみの場合、104のように確認するという事ですか？