Question

あ

これは、正二十面体の形を覚えてないと解けない問題でしょうか？？
この文章からどうやって正二十面体の形を想像できるか教えてください🙇‍♀️

図形の性質>>>
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Aさんは化学の授業で,炭素原子が60個結合してできたフラ
ーレンという物質があることを知った。フラーレン Ceo は右の
図のように,いくつかの正五角形と正六角形から構成される凸
多面体の頂点に炭素原子が位置するような構造をしている。調
べてみたところ,これは正二十面体の各頂点を, 各辺を3等分
する点を通る平面で切り落とした「切頂二十面体」という立体
であることがわかった。この立体の辺の数と面の数を求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Um

正五角形か正六角形のどちらかが正20面体の切り口です。六角形の辺を延長すると一つ新たに頂点ができます。しかし、五角形の辺を延長しても頂点に対して面が足りてない部分ができます。つまり正五角形が正二十面体の切り口だとわかります。(だから正六角形の辺を延長したら元の多面体になり、正三角形でできていることがわかります。)
五角形の辺は全て消えて頂点は一つに集約されますつまり、5個の頂点が1個になるすなわち4個頂点が減る
正二十面体に対してxを元の多面体の五角形の数とすると
V=60-4x,F=20,
E=V+F-2=80-4x-2=78-4x=78-48=30

(よく図を見るとフラーレンの頂点は全て五角形の頂点と考えられます五角形の数をxとすると、5x=60よってx=12です)

つまり正二十面体の辺数は30です。これに切り取ってできる五角形の5本の辺を出すと30+5*12=90本です。
よってフラーレンについて
F=E-V+2=90-60+2=32面