Question

倶知安くっちゃん

【積分応用】このタイプの問題の解き方がわかりません。よろしければ一通りの流れを教えていただけませんか？(解法です。)。わからないところを聞いてやりたいと考えております。よろしければお願いします

Answer 1

哲治

大学１年の微積分学の授業で誰でも習う。
超有名な積分で、これとガンマ、ベータ関数とが関連して超有名なウォリスの公式が導出されます

倶知安くっちゃん

ご返信ありがとうございます。
ということはこの範囲は大学の範囲なのですか？？
有名と言われると尚更無知を自覚させられますねぇ笑
線形代数の方もご返信ありがとうございました。
おかげさまであの後頑張ったところ解きあげることができました！

哲治

漸化式を用いる解法自体は高３でも可能です。
しかしこの積分の価値自体はそれ以後に導かれる結論にあるので。
数３なら単なるこれ解いて終わりです。

Answer 2

りょう

(1)は大丈夫だと思うので省略します。
(2)は
積分が含まれた漸化式は、まず部分積分を疑って見ると上手いこと行くことが多いです。
(3)は
置換積分を考えてみると良いですよ。

倶知安くっちゃん

ご返信頂きましてありがとうございます。
おかげさまで解くことができました。
もしよろしければこちらの問題の解き方の方教えてもらうことできましたらよろしくお願いします。

りょう

左の写真はつまり
I(アイ)7を意味しているので(2)を使うと良さそうですよね。
右の写真も同様に考えると解けますね。

Answer 3

aporon

(1)はいいとして、(2)が問題のポイントかと思います
次数nをどのように下げるかがポイントですね
①sinⁿx=sin²xsinⁿ⁻²xとする
　　　　相互関係使えば、sinⁿ⁻²xだけの積分の形がつくれる

②sinⁿx=sinxsinⁿ⁻¹x=(-cosx)'sinⁿ⁻¹x
　　　　部分積分が使える

今回は②だと簡単にいけそうですね

倶知安くっちゃん

ご返信頂けましてありがとうございます。
おかげさまで解くことができました。
加えてなのですが、こちらの問題の解き方の方教えてもらうことできましたらよろしくお願いします。

aporon

(2)と(3)を活用して、sin⁷xの次数を下げていきましょう
I₇=5/7×I₅=5/7×3/5×I₃=5/7×3/5×1/3×I₁
みたいな感じですね