✨ ベストアンサー ✨
すべて偽
(1)R>0には単位元0が含まれていない
(2)正三角形の二面体群
部分群は回転の巡回群と反転の巡回群のみだが、二面体群自身は巡回群でない。
(3)Z
Zの部分群で{e}以外のものはnZ(n=1,2,3…)で、これの位数はnで割った余りの種類でnで有限だが、Zは無限群である。
(4)G={e^(2πqi)|q∈Q}
q=a/bとすれば位数はb以下で有限だがGは無限群
整数です
[2]
正五角形の各頂点に順に12345と名前を付けて、置換を頂点の移動と対応付ける.
σは五角形の中心まわりに360°/5回転する変換
τは頂点1を通る対称軸に関する対称移動
D5はこれらで生成される.
[3]
(|G|が有限であることを示す必要があるがわからん)
|G|が有限であるとする.
3つの共役類をC1,C2,C3とする.
|G|=|C1|+|C2|+|C3|
1= 1 / (|G|/|C1|) + 1 / (|G|/|C2|) + 1 / (|G|/|C3|)
|C1|,|C2|,|C3| は |G|の約数だから
1= 1/x + 1/y + 1/z と自然数x,y,zを使って表せる.
C1,C2,C3のいずれかは{e}で大きさが1ゆえx,y,zのいずれかは|G|
(1)よりx,y,zは最大でも6ゆえ|G|は最大でも6
条件は共役類が3つであること、だけであるから位数のことは何もわからないような気がします。それに(4)の命題は偽です。
すなわちGが無限群の時題意は成り立たないってことですよね？
与えられた条件、共役類がちょうど3つ
から|G|が有限であることを示したいのですが、示す方法が思い浮かびません。もし、それを示すことができたなら、あとは上の回答通りの議論で|G|≦6が示せて、証明が完了します。
つまり、証明の一部しかできていない状況です。
1.
任意の偶置換σは偶数個の互換σmの積として表せる.
σ=σ1σ2σ3σ4…σ2k-1σ2k
f(σ)=f(σ1σ2σ3σ4…σ2k-1σ2k)=f(σ1)f(σ2)f(σ3)f(σ4)…f(σ2k-1)f(σ2k)=(±1)(±1)(±1)(±1)…(±1)(±1)=(±1)^2k=1
2.
fは恒等的に1でないからある置換σ0でf(σ0)=-1となるものが存在する.
任意の奇置換σは奇数個の互換skの積で表せる.
σ=s1s2s3s4…s2k-1=s1s2s3s4…s2k-1σ0⁻¹σ0
f(σ)=f(s1s2s3s4…s2k-1σ0⁻¹σ0)=(±1)^2k f(σ0)=-1
3.
sgnは偶置換を1に奇置換を-1に移す写像だから1,2の結果よりf=sgn
なぜf(σ1σ2σ3σ4…σ2k-1σ2k)=f(σ1)f(σ2)f(σ3)f(σ4)…
が成り立つのでしょうか？
準同型だからですか？
そうです
(1)～(4)は数えるだけなので任せます。
(5)G={e, r, r^2, r^3}とする。r:90°回転
f(n)=|X/G|=(Burnside)
={(eで固定されるXの元の個数)+(rで固定されるXの元の個数)+(r^2で固定されるXの元の個数)+(r^3で固定されるXの元の個数)}/|G|
={(1)+(2)+(3)+(4)}/4
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すみません。以後気をつけます。毎度ありがとうございます。
(4)について質問ですがq=a/bとおく際にa、bは実数ですか？