✨ ベストアンサー ✨
先の方が前半を答えられていますので、後半だけ書きます。
まず共通部分がゼロ行列だけになるのは良いと思います。転置をとってAにも-AにもなるのでA=-Aですが、これを満たす行列はゼロ行列しかありません。
次に和空間がn次の正方行列全体と等しくなることについてですが、つまり任意の正方行列がVの元とWの元の和で書けることが分かれば良いわけです。そのためには基底がVとWの元の和で書けることを示せれば良いということが分かります。
基底は先の方が求めた通り、１つの成分だけ1でそれ以外が0の行列全部です。対角成分に1がある行列は明らかにWの元です。それ以外の行列に関しては例えばn=2なら画像のように考えることで分かります。
いえいえ！
お二人ともありがとうございます！
大変助かりました！
なるほど和「空間」で考えるとはそういう意味なんですね！
勉強になりました。ありがとうございました。