P(2) = 2³ + a*2² + (4-a)*2 + 5-2a
= 8 + 4a + 8 - 2a + 5 - 2a = 11
P(-1) = (-1)³ + a*(-1)² + (4-a)*(-1) + 5-2a
= -1 + a - 4 + a + 5 - 2a = 0
P(-1) = 0 なので P(x)は(x+1)で割り切れる。
P(x) = (x + 1){x² + (a - 1)x - 2a + 5}
P(x) = 0 が虚数解を持つのは
x² + (a - 1)x - 2a + 5 = 0 が虚数解となるときなので
判別式 D = (a-1)²-4(-2a+5) = a²-2a+1+8a-20 = a²+6a-19 ＜ 0
a＞0 より 0＜a＜-3+2√7
2虚数解をα,β 実数解をγとすると
解と係数の関係より
α+β = -(a-1)
αβ = -2a+5
また P(x)の実数解は x=-1 なので γ=-1
α²+β²+γ² = (α+β)²-2αβ+γ² = (-a+1)²-2(-2a+5)+(-1)²
= a²-2a+1+4a-10+1 = a²+2a-8 = (a+4)(a-2) = 0
a＞0 より a=2
a=2のとき
x²+(a-1)x-2a+5 = 0 に a=2を代入すると
x²+x+1=0 となる。
x²+x+1 = 0 は x³=1 の虚数解部分なので、
※ 両辺に(x-1)を掛けると (x-1)(x²+x+1) = 0 と x³-1 = 0 を因数分解した形となる。
よって α,βは x³=1 の虚数解であることが判る。
従って α³=β³=1 である。
x²+x+1 = 0 の解と係数の関係より
α+β = -1
αβ = 1
nが3の倍数のとき n=3k と置くことができ
α^n + β^n = α^3k + β^3k = (α³)^k + (β³)^k = 1^k + 1^k = 2
n=3k+1のとき
α^n + β^n = α^(3k+1) + β^(3k+1) = α*α^(3k) + β*β^(3k) = α + β = -1
n=3k+2のとき
α^n + β^n = α^(3k+2) + β^(3k+2) = α²*α^(3k) + β²*β^(3k) = α² + β² = (α+β)²-2αβ = (-1)²-2*1 = -1
よって nが3の倍数のとき α^n + β^n = 2 , 3の倍数でないとき α^n + β^n = -1
γ=-1 なので nが偶数のとき γ^n = 1 , 奇数のとき γ^n = -1
nを6で割った余りで分類すると
(i) nが6の倍数のとき (nが3の倍数 かつ 偶数)
α^n + β^n + γ^n = 2 + 1 = 3
(ii) nを6で割った余りが 1のとき (nが3の倍数ではない かつ 奇数)
α^n + β^n + γ^n = -1 + (-1) = -2
(iii) nを6で割った余りが 2のとき (nが3の倍数ではない かつ 偶数)
α^n + β^n + γ^n = -1 + 1 = 0
(iv) nを6で割った余りが 3のとき (nが3の倍数 かつ 奇数)
α^n + β^n + γ^n = 2 + (-1) = 1
(v) nを6で割った余りが 4のとき (nが3の倍数ではない かつ 偶数)
α^n + β^n + γ^n = -1 + 1 = 0
(vi) nを6で割った余りが 5のとき (nが3の倍数ではない かつ 奇数)
α^n + β^n + γ^n = -1 + (-1) = -2
上記より α^n + β^n + γ^n は -2,0,1,3の4通り。最大値 3,最小値 -2
P(2) = 2³ + a*2² + (4-a)*2 + 5-2a
= 8 + 4a + 8 - 2a + 5 - 2a = 21 でした。 以降の計算には無関係ですが。