Question

なず

不定積分の問題でtantで置換したんですが、絶対値が出てました。

tの範囲から正も負もあるようなので、絶対値の取り方がわかりません。不定積分だから原始関数が多くて絶対値は考える必要がないっていう人がいましたが、ちょっと半信半疑です。

実際どうでしょうか？よろしくお願いします。

トー 慰

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不定積分 絶対値 三角置換

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

xの定義域はx≠0
置換するときにx=2tant,-Π/2<t<Π/2 かつt≠0
とすれば、cost>0

tanからsinにするときに三角形の図を使っていますが、厳密にいうとそれは0<t<Π/2のときにしか使えません。
sin^2+cos^2=1をsin^でわって
1+1/tan^2=1/sin^2
を使うことになります。
sint=±x/√(x^2+4)
となりますが、x=2tant,-Π/2<t<Π/2 かつt≠0なる置換ではxとsintの符号が一致するので
sint=x/√(x^2+4)
となり、最終結果を得ます。

なず

回答ありがとうございます！

三角関数の計算ってこんな制限があるんですね。勉強になりました。

x≠0のところなんですが、これを見てこの積分って実は広義積分っていえるんでしょうか？

Crystal Clear

不定積分はある定数cからxまでの定積分と見なすことができますが、上の計算ではcとxの間に0が入っていてはまずいところがあります。よってこの結果は積分区間に0を含まない定積分です。広義積分を計算する場合には積分区間の端点を0にする極限を計算することになります。

なず

x→0にするとは言ってないので特に広義積分ってわけじゃないんですね。

Answer 2

Take

なず様

参考にしていただけたら幸いです。

解析学 不定積分

なず

Take様

回答ありがとうございます！画像がとてもわかりやすいです。