表紙

高校生

2年生

数学

【授業ノート】三角関数

三角関数加法定理

649

Mari

高校2年生

数学の授業ノートをあげておきます〜

⚠️注意⚠️
・めっちゃ途中からです
・眠気に抗いながら書いてるところもあるので、
めっちゃ字が雑なところがあります
・ありのままの授業ノートなので、必要ない内容とか色々書いてあります(笑)
・拡大推奨です

【範囲】
・弧度法と度数法
・三角関数の性質
・三角関数のグラフ
・三角関数の方程式、不等式
・加法定理(2倍角•半角の公式、sinの合成公式)
　↑積和和積の公式は入っていません！

2025.12.16 公開

数学高校数学三角関数グラフ方程式不等式加法定理弧度法授業ノートおすすめノート2025/12/22 高専数学 3角関数３角関数 sinθcosθtanθ 三角比 math

コメントはまだありません。

ノートテキスト

ページ1:

5.三角関数
5.1
三角比
正弦
対辺
sind
斜辺
余弦
cas
隣辺
斜辺
対辺
=
斜辺
(高さ)
「シータ」
正接
tand
対辺
= 隣辺
隣辺
(周辺)
ex.
1
sina=1
2
三平方の定理より
cosa =
J5
CA=AB2+BC2
=4+1
tana
=
2
=
5
CAOより CA=√5
参考:(1)有名角の三角比の値
30°
B 600
①
@
60°
①
[1]]
三
30°
45°
sino /
京
√3
cosg
tano
/ √3
45
①
coso
rsind
xtand
rcosg
X
直角三角形の1辺の長さと三角比を
用いれば、残りの2辺の長さが分かる。
-復習-
三角形の内角の和は180°だから、
台
+α+ 90=180
α=90°-0
の余角という
10
日の余角90-0の三角比
sin(900)=cosl
cos(98-0)=sind
tan(90-9)=
tand
斜

ページ2:

10/20 ノート忘れた分
間5,18
-/20°
A
3 '65° 160°
4
△ABCの
面積
ABDの
• ) = (^ABD9) ~ (DACO₂)
×3×4×57120=
34520 = 4×3×5760+ $+4+x=560"
=¥3
12=30c+400
D
x=f()
例) 600180=[rad]
これまでの角の測り方:度数法(単位は「゜」)
[rad]=1×180=144
1
1[rad] ==58.3
。
直角90 一周360°
T
「1[rad]
↑
↑
プ
匹[rad]
180
数学的な理由で
これらの数字を採用したわけではない!
高2
180
The Trad]
180
弧度法(弧の長さで角度を表す方法)
・単位円上に2点APをとる。
d
のと、
P
弧APの長さが
角AOPの角度は
[Q[rad]であるといい、
∠AOP [rad]
今後、数学では「弧度法」を用いる。
単位[rad]は省略する。
[rad]
A
中学校レベルの問題
度数法で
角を測った
ことにする。
(00TC X
45
360
12.5
1450
ex. 一周は27[rad] 直角は[rad]
2π
弧度法のメリット
S=125
①円弧の長さや面積を与える公式が
キレイになる。
②「微分積分」と相性が良い。
(2年で学ぶ)
②について
単位換算
度数法
弧度法
直角
TL
90°
[rad]
=
2
平
八[rad]
=
一周
360°
(sing)コ
180°
2π[rad]
三角関数 STXの微分について
COSX (xは弧度法)
cosx(xは度数法)
定数=0.0174…

ページ3:

①について
扇形の弧の長さlと面積S
(1)l=rg
(2) Q[rad]の表す点や
[rad]
弦長
0
(2)S=1/12/10
[trad]]]]
KO[rad]
P
長
=//er
80のとき
80のとき
(1)
三角関数
y=cosl
[[rad]
正弦関数
y=sino
余弦関数
正接関数
ただし
21[had]
y=tand
・Qの単位はradl=0[mad]
・COSA=0となるでは
tandは定義しない。
ex) sinz=?cosfn=?tan
?
l:0
=r:1
< l = rg
=1/21
三/er
=
d
20
面積
例)
解
x
l = 10 × 1 = 1/2*
[rad]
T
S=1/2x×10=21
25
よく用いる
参 (1) 直角三角形(弧度法ver.)
7 P
√3
2
12
14
14
1
店
J
10€
sinf
Cos f
tan fr
12 d

ページ4:

心の目で見たら
例題 5.9
sing+cosl= /
a
e
Point!
のとき
(1) ca+b=a+2ab+b
(2)a+y=(a+b)(a-ab+b)
(sino carl
(sind-cas 8)=(+)
3
sing +2.sind.cosd+cos'il
1 +2.5indicaso
ii sino caso
単位円
(2) sincos
三角関数の性質
補角πータの公式
(笑)余角-8の公式-
sin (1-0)=cosl sin(π-l)=sino
| sinid-casid = (sind+co50) sinid - sind card + cart)
=
* {1-(-) } -
cas (1-0) = sind
COS(π-0)
=
-core
tan (1-0) = and tan (π-0) = - tand
- 0
+2nπの公式(n=さし、±2
...
sin(0.2mx)
+
例題 5.10
1-sind
2
+
1-sino
Cos
Coso
☺ (FE;2) = __card card + (t-sind)x(1-528)
(1-sind) cord cosdx (1-sind)
Co50+(1-sing)
(1-sind) cos
cos+0+1-25n0+sin20
(1-5500) Cos
1+1-25ind
(1-5) cosd
2-25740
(1-5700)005
261-sino)
sino) cosd
よって、与式が成り立つ。
+ cos (0 + 2nπc) = caro
tan(+2nπ)
y
T
tand
π+24π9
10m
表す点
表す点
Casd = (#12)
--Aの公式
8+2n
X
sin(-8)
=-singl
Cos(-8)= Cong
tan (-O)
tang
(oy)
(a,-y)
X軸に対して
対称

ページ5:

例sin()
cos ( -
Sin
I
) = car I =
(日本)=
6 tan (F) = -tan }
十匹の公式
Sin(2+) = - sind
cos(+TV)
☆tan(+π)
(--)
50
= -
=
card
tand
リ
9+1
(x,y)
X
原点対称
√√√3
2
2
P.154
周期関数
y=fco)
ある定数p≠が存在して
全てので
f(d+p)=f(0)が成り立つ
定数で、正の最小のものを
f(8)(基本)周期という。
flo-p)=f(0)
fcd=sp)=fed-pp)
=f(x)
ex)(1)y=sind、周期2匹
Sin(0+2m) Sinl
(2)y=tand,同期π
tan(0+=tan&
三角関数のグラフ
fros
サインカーブ
(1)y=sindのグラフ(正弦曲線)
Goto next page)
・聖の公式
2
sin(+1)=cong
cos (8 + 1) = - smo
cos(0+1)
tan (8 + 1) =
$(x4)8 (-4, X
原点の中心
反時計蛋回転
した点
y
tan
(x, y)
X
T8

ページ6:

サインカーブ
(1)y=sindのグラフ(正弦曲線)
ny
sind
2
TC
(2) y=coslのグラフ
y↑
ny
2
2匹
-R
2
T
2
③card=sin(d+ 1)
21
+0
y-cosdのグラフは正弦曲線を軸方向け
一般だけ平行移動したもの
元
cos(Q+2n) =cosl
250
準備
tandの幾何学的解釈(2通り)
(3) y=tandのグラフ
CD=1…を漸近線にもつ)
ya
-
TC
+
x=1
d=-1
d = Ţ
tand= (直線op介き)
直線OPと直線xC=1の
交点のy座標
TC
27

ページ7:

問5,33
(2) y=400 (1/
(+1)
e
=400円 {12/10+
1 )
y=4cor1/2を8軸方向に一般平行移動
周期:4
=4000を1軸方向に2倍
y=coslのグラフを
↑
→2→3
値域:-4sys4
したもの
①y=csdをy軸方向に4倍
問5,34
(1) y=tan2d=tani
0
同期:×1/2 TC
=
2
値域: 実数全体
まとめ
y軸対称
三角関数定義域値域
偶関数・
周期
関数
原対称
y=sind 実数全体
+
-1sys12
奇関数
y=0000 実数全体
45951
偶関数
27
ytand +x
実数全体
| (n=11, 12...)
TC
奇関数

ページ8:

三角関数を含む方程式・不等式
方程式
Point
++
P:角lの表す点 T:直線OPと直線X=1との交点
Step1. 点を作図で求める。
sind=f
cosQ=a
tand
=m
10コ
X
X=6
& P
Step2. Pを表す角D=82.8を求める。
Step 3. ①の範囲が指定されている
\
のうち
指定されている。の範囲に
入っているもの全てが解
②
指定されていない
→92,02…が解
無限個
T
X
-y=m
x=1
例題5.12
058520947
(2)√20089+1=0
(3) tang=1
(1)S=1/2
AFF (1) step]
step 2
d = π
D
TC
step30≦2
10≦ f=20
f()
J') ] = +, $T

ページ9:

(2) t casd=
D
P
(3) tan l=1
注
= 414
8√
P
y=1
Joc=1
(答)
15
=(箚
1.π<OSTのとき
(2) 0 =π, - 3x (2)
冗
T
4
2.0の範囲指定なし=定義域で考えよ
(1)Q=2+2,x+2m
Ch-0,11,12,± 3 ----)

ページ10:

不等式
Point!
step1 不等号(つやるなど)等号(=)に
した方程式を解く。(Qの管理に注意)
step2
Step1で求めた方の解を
lの範囲に注意して、不の解を求める。
例題5.13 059<27967
(1) sind <-
el cosd=
-
2
解
Step 1 and K.
=2
==
(2) COSDを解いて、Q=
与式の解は
0505 $
または
駒
50
y'
(3) tandミ
X
X
注ρ=号では
定義されない

ページ11:

(3)tand= /を解いて
y
24' 12 = 0
与の解は
ラ
または
FLSOC
2
例題5,14(発展)
tanはムズイ
(1)sm(+5)=1/2
Point!
解
X
OOK2匹のとき
R) 2050Z-5eosd+キ
文字を置換して、式を見易くする。
A (1) sin(@+) =Ź (0≤d <2πc)
ナ
TC
=> α = + ( a + JTL)
a=0
32T
y'
=
2
+2πC
#d+F = Fr‚ For
I = I, IR
の
X
〆の範囲内でい
不
=> 12π

ページ12:

5.4. 加法定理
さいたこすもす
こすもすさいた
◆加法定理
sin(x-3)=sino
Casβ-cosousinβ
sin(d+3)=sinaxcosf + cosassinp
cos(a+p) =cosxxlosp-sinaxsine
sin(-3)=-sinß
リー
cos(p) = cosp
tan(β)=-tanβ
cos(a-β)
-
tan (a+β)
tan (a-β)
=
cosancosf+simasinβ
tano tang
tara xtanβ
=
-
(例) (1) sih75°
= sin(45+30°)
75°=45°+30°
RR1COS 1/2
COSTC
TL=
πC
+
sin 45°cos30°Cos45×57730
。
I
= cos = cos = - sin — xstu
X
2 2
=
3+
22
(
X
2
てい

ページ13:

例題516(tanの加法定理の応用)
2直線のなす角
<
<
010-8-)
/y=300
を求めよ。
Point
y=//a
tana]]
(解 直線y=300とと軸のなす角を△(ocac量)
yozx
とする。
4-3
Vetana
2
Block < 12 )
0-2-3
ya tand=tan (α-ß)
tanß
tano tanh
1+ Tanatanp
=1
3-1/2
1+3+/
tano=1を解いて、
1
IC
い

ページ14:

☆加法定理から色々な公式が導出できる。
例) sin(d-β)=sinacoff-cond sinβ
R
sin ( I - 0 ) = ( 5Th I card - cas I sind
=cosl
(1) sin(1-1)=cosl
加法定理
2
2倍角の公式
STの合成公式
NEW!
公式を
生みだす
パワー!
積和・和積公式
☆2倍角の公式
sin20=2sind cosa
cos2d
相互関係
=
corta -87hd
cosa-siko
←
sino+cosax=
1
=
20053α
-
-008α-(1-0057)
= 1-25T2α
tan 20
2tand
I-tanα
十の加法定理で
B+αとすればよい。
sin(a+b)= sind coof + casasinf
sin(x+a) = Sinacosd+cosasiha
20
=2sind cosa
-2005α-1

ページ15:

例題5円
COS=1/3のとき
sin 20
の値は?
cos2d tan20
FF® II) STR³α = \- coold: $
9
sind
√
11
3
Sin20=25macoso
=2x-
舎人
2
3
3
+(税)
9
Cos2a = Cosa-Sina
=
9
56
〆
-
tanza
Sined
00520
45
B√

ページ16:

☆半角の式
sin
20
Coo² =
2
1+0058
2
tan & = 1-00
1-cosd
1+0050
① 2乗を忘れずに!!
tan=
cosの2倍角公式を用いる。
COS20=2sindsinta= 1-ca52α (=) sin² = (-cord
=2005g-cos2d
2
1+00524
=
2
1+cosd
2
例題 5.1888=?
解=だから、
半角の公式より、
2.2
cost # = {(1)
2
4
Oc書くより、Cosから、
COS 1/27/2
cos
4

ページ17:

☆sinの合成公式
a≠o,またはb≠0とするとき、
asind + boood = r sin(O+α)
が成り立つ。ただし、
2
r=la2+bz
α =
を満たす
sind
=
任意の角
y
b0650
d
a
例)sing+「3cosg
=
=
= √1² + √3² sin (0-1)
2 sin (d + 1 )
3
(=28)
1
(1,√√3)

ページ18:

Ka
例題 5.19
276218>0650
(D) sinx - J3 Cox 1
(2) sing+cosx =
2
Insinx-√3 carx = 25Th (x-1)
合成
(r=2,d=f)
(=> 25Tnx (x-1)= |
3
<sinx(x-3)=1/12/0sx2)
(+) sind === (-3 = 0 < -+2)
0 = × - 14
0=x-
3
5 0.7 + x
=
=
6
IC
6
-
造
ル
4=
=
2
TV
8
+2

ページ19:

# =X500 +X45 (3)
STnX+COSX = √2sin(x+1)
合成
年式2sinfo.
(
4*<>√2sin(x+4)= 1 (0 ≤X=20)
2
} = puss <=>
== ( # + 1 ) +5
C
I
(263850)
(504)
D
+27
元に戻す
200+ £ > 8327, 1 1 1/2 =
ナ 22
o ≤ x ≤ ft 2 ≤ X < 2π
12

ページ20:

例題 5.20 関数y=3sinx+400Cの
解
35Th X+
4000x
値域は?
yのとりうる値の範囲=□sys△
=
合成
557~(x+α)
「cosd=1/3を満たす)
(r=5, α = { card ===
iy=5sin(x+α)
-1≦STn(+α)=1
個域
52y=5巻)

ページ21:

テラ
23
NT + 2 = = 6 = 24 +
X
B√
←
yo
25+
haave
=0
I
√2 Sin (x+ 27 ) 3 1/6
+26
sin(x+a)=
sing
+2
24 (21/π ≤ d ≤ 2012)
2
し
し
sinfec
2
77 = 76 800 + 76 415 - (2)
可
間5,45
0≦x<2のとき

ページ22:

sinの合成公式の証明
a
(1)
Casa
r を満たす角のが存在すること
Sina
3
fl
図のように角のをとれば、
(cosα = a
Sina
f
が成り立つ
A
I
X
公式が成り立つこと
asind+Rool=rcasasind+roosdsind
cosa=
sina=
a=rcosa
b
b=rsiad
Cosa
Siha =
存する
同じ象限に
入るので、
座標の符号は一致
=r(sind.cosa+Cosl.sind)
=rsin(Q+α)
Sinota
加法定理
//

ページ23:

積和公式
sina · cosß = = (sin(α+p) + sin(α-ß))
cas α sinß = = = (sin(α+3)-sin(α-ß))
-
Cosα cosß = = (cos(x +ß) + (os (α-ß))
Sind STUB
リ
(cas (α+ B) - cos(α-ß)
のみ示す。 sinの加法定理より、
sin (α+ß) = sina cosß + cosa sinß
+) sin (α-ß) = sina cosß- cosx stup
sih (a+ß)+sin(x-4) = 25thxx.coß
1511
<) sind. cosß = = (sin(x+3)+sin(x_fp)//
板書の写真のため
隠しています。

ページ24:

和公式
Sin A+ SinB = 2sin
A+B
2
Cos
B
2
A+B sin A-B
2
Sina sin B
= 2005
2
COSA + COSB
A+B
A-B
=
COS
2
COSA
〔
c058
= -25in A+B sinA-B
{A=a+B とおくと、
積和公式で 1145=018
A
-
fp) (a
B
Sina cosß = 1 (sin(α + p) + sin (α-B))
2
<=> SinA + SinB = 2sin A+B cos A=B
その2 直接示す.
STWATSTUB = 25Th A+B Con A-B
(G+B) (α-ß)
√α =
A+B
2
-B = A-Q
2

ページ25:

y↑
20=1
参 tandの方程式・不等式の別解法
Tの
(1) tand - (T2)
(2)
=
P)
(FOR OP
傾き
傾きが
定義されない
A
小
大大
大
(傾き) 20
例題
mtand=
解
050-27
tance đế
10Pの傾き
(き)<O
(2) tand店
店
0 = 7π, I
6
56
今
X
T
傾き
・・・・・・・
外
X