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解答例 & プチ解説 @Akagi
6 【漸化式】
(1) α = 3, an+1 = an +2
→
初項 3 公差 2 の等差数列型の漸化式だから一般項の公式
に a=3,d=2を代入して
an=3+(n-1) x 2 = 2n+1
答 an
=2n+1
(2)a = 5, an+1=-3an
←
初項 5 公比-3の等比数列型の漸化式だから一般項の公式
に a=5,r=-3 を代入して
an=5×(-3)"-1
答 an
=5.(-3)"-1
(3) a = 4, an+1=3a-2
->
特殊解型の漸化式。
特殊解を求めると
a=3a-2 ∴.α=1
よって, 与式を変形すると
an+1
-1=3(a,-1), q-1=3
数列{a,-1}は 初項 3 公比3の等比数列だから一般項の
公式に代入して
よって
α-1=3x3"-1=3"
an
答 an
=3"+1
=
=3"+1

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77 【数学的帰納法】
1 + 5 + 9 + ・ +(4n-3)=n(2n-1)
〖証明〗
i.n=1のとき 左辺 =1
右辺 = 1x(2x1-1)=1
よって, n=1のときは成り立つ。
ii.n=kのときに成り立つ,つまり
1 +5 +9 + … + (4k-3)=k(2k-1)
が成り立つと仮定する。
①の両辺に4(k+1)-3を加えると
・①
左辺 =1+5+9+... + (4k-3)+{4(k+1)-3}
右辺 =k(2k-1)+{4(k+1)-3}
= 2k2 +3k +1
= (k+1)(2k+1)
=(k+1){2(k+1)-1}
よって, ① は n=k+1のときにも成り立つ。
i,iiより,与えられた等式はnが自然数のときに成り立つ。

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8 【隣接3項間型の漸化式】
a=2, a2=5, an+2-5an+1+6am = 0
特性2次方程式を解く等比数列型の漸化式を2つつくる
連立方程式を解く
○特性方程式 x2 - 5x + 6 = 0 を解くと (x-2)(x-3) = 0
∴x=2, x=3
β(a+1-aa)にα = 2,β=3を代入すると
oan+2
-
dan+1
=
an+2-2a
=
n+1
= 3(an+1
-2am),
a2-2a=3
よって,数列{a,+1 -2a,}は初項 3 公比3の等比数列だから
an+1-2am
=3x3n-1
an+1-2am
=
3"
①
=B(am+1-da„) に α = 3, β = 2 を代入すると
=
da
'n+1
an+2
-
an+2-3antl
=
2(a+1-3am), a2-3a=-1
よって,数列{a2-3a}は初項-1 公比2の等比数列だから
an+1 -3am : -1x2"-1
==
∴an+1 -3an
=
-2"-1
②より
an
=3"-2"-1
答 an
=3"-2"-1

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9 【総合問題】
{a} a₁ =7, a₁₂-a₁ = 4/F]{b}OF S„ = n² + a„ −1
数列{b,}の和
.
4
(1) α₁ = a₁ +(4−1)d = 7
n
より a₁ + 3d = 7
aaa,+(3-1)d-a₁ = 4
より
2d = 4
:. d = 2
②を①に代入してα + 3×2=7
よって a=1+(n-1)x2 = 2n-1
(2)(1)より
Sn²+(2n-1)-1= n²+2n-2
: a₁ =
答 an
=
= 2n-1
n≧2のとき
n
b₁ = S₁-S-
n-1
和と一般項の関係
=
(n²+2n-2)-(n-1)²+2(n-1)-2}
=(n²+2n-2)-(n² -3)
=2n+1
b=2n+1
m
n
(3) Σ (2k − 1) = 2 × —½³n(n+1)− n = n² <1000
k=1
312 = 961,322=1024だから････
n = = 31