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第1問(必答問題)(配点 30) 〔2〕 読解力(´・ω・` 原点を0とする座標平面上にある点Pは,点A(-10, 10) を出発進行し て, 直線 y=-x 上を x 座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。 また, 点 Q は, 原点 0 を出発進行して, 直線 y = 2x上を x 座標が1秒あた り1増加するように一定の速さで動く。 また, 点 P と x 座標が等しいx軸上の点を P', 点 Q と x 座標が等しいx軸 上の点を Q'とし, OPP' と△OQQ' の面積の和を S, 1辺が PQ である正方 形の面積を T とする。 点P と点Qが, それぞれ点Aと点 0から同時に出発 進行し, 点Pが点 0 に到着するまでのSとTの関係を調べてみよう。 ただし, 点Qが点0と一致するときはSを△OPP' の面積とし, 点POと一致す るときはSを△OQQ' の面積とする。 A -10 yA 10 X (1) 点 Q の x 座標が2のとき,S=【クケ】,T= 【コサ】である。 (2) S のとり得る値の範囲は 【シス】 【セ】 ≦S≦【ソタ】である。
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(3)次の S, Tに関する記述 p, q, rについて, 正誤の組合せとして正しい ものを,下の①~⑦ のうちから一つ選べ。 【チ】 p: Tの最小値はSの最大値より大きい。 q: Sが最小になるときの点Qのx座標の方が,Tが最小になるときの r: 点 Qのx座標より大きい。 S=Tとなるような点 Q の x 座標は一つだけである。 r 正誤正誤正誤正誤 ⑨正正誤誤正正誤誤 ① 2正正 ②2) 正 正誤誤誤誤 (5. (6)
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P 考えてみたの y▲ |10 -2x+10¦< -10 P -2x+10¦ 12x1 X (1)点 Q の x 座標が2, (x=2)のとき △OPP′= 6×6÷2 = 18 → S = 18+ 4 = 22 △0QQ′ = 2×4÷2=4 また,P(-6, 6)とQ(2, 4)だから三平方の定理により PQ = √(2-(-6)) +(4-6)' = √68 = したがって PQ を1辺とする正方形の面積Tは T=√68x√68 = 68
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(2)図より △OPP′= (- 2x + 10)×(-2x+10)÷ 2 = 2x2 - 20x + 50 △0QQ′ = xx2x÷2=x2 よって S=(2x2-20x+50)+x2 =3x2-20x+50 10. 50 =3(x- - 3 + (*) 軸: x== 頂点( 10 10 50 -) " 3 3 0≦x≦5における 2次関数 (*)の最大値と最小値をお絵かき して考えてみると Pが0に到着す 50|3| るのは5秒後 S≤50 Max Min 50 50 50-3 50」 10 5 10-3
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(3) Tの式を求めてみるよ x秒後の点Pと点 Qの座標はP(2x-10, -2x+10 ) だから Q(x, 2x) PQ = √(x-(2x-10)) + (2x-(- 2x +10)) = = = √(-x+10)2 +(4x-10)2 = √17x²-100x + 200 よって 50. 900 T=PQ? = 17x2 -100x + 200=17(x- + 17 17 50 50 900 軸: x = 頂点:( 17 17 17 P,g,rを順番に考えてみよう。 900 p: Tの最小値(= = 52…… ) S の最大値(x=50) 正 17 10 q: Sが最小になるときの点Qのx座標 (= 3....) 3 50 = 2....) 正 17 Tが最小になるときの点 Q の x 座標(= r: S=Tより3x²- 20x +50 = 17x²-100x + 200 整理して 7x2 - 40x +75= 0 ... (*) (*)の判別式をDとするとD=(-40)2-4×7×75 =-500 < 0 よってSTを満たす実数xはないから 誤 【チ】:⑤
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