無限級数に関する質問です。🙇🏻‍♀️

Mathematics

高中

已解決

約5年以前

傍心

無限級数に関する質問です。🙇🏻‍♀️

画像1枚目のような問題に対して、どうして私の解法は正しくないのでしょうか？

解法のパターンを把握出来ていないので、投げやりな質問になってしまっています。すみません。
よろしくお願いします。

22十1 2み+3 ZZ Z 十1 も 2 填3 人 Z十1 2z 十3 Seコー5aー(- 2 過8 3 2 十3 IO 3ー2=1 limS。」=3 oo て, この無限級数は発散する。

解答

✨ 最佳解答 ✨

gößt

約5年以前

足し算の順序を変えているわけではないのでは…？
他の回答が少し気になったので補足しておきます

とりあえず、1枚目の解答にある「第2n項と第2n+1項をセットで考える」というのは第2n-1項と第2n項の間違いですかね？

傍心さんの解答にある
　n 1 1
　Σ —－—–
k=1 k k+1
というのは言い換えればS[2n]です。つまり傍心さんの解答は結局のところ
　lim S[2n]＝1
n→∞
を示したことになります。これだとS[n]が1に収束することまでは言えないことはよく分かるかと思います

一般の数列だとa[2n]の収束からa[n]の収束を結論づけられないことはピンとくる人も多いですが、級数になると意外と混乱してしまうものです

傍心約5年以前

ご回答ありがとうございます。🙇🏻‍♀️

>とりあえず、1枚目の解答にある「第2n項と第2n+1項をセットで考える」というのは第2n-1項と第2n項の間違いですかね？

そうでした。😰 ありがとうございます！

すみません、、、
S[2n]は部分和ですよね、？どうしてそのnを∞に飛ばしたものを考えて、無限級数を考えていることにできないのでしょうか。。私には定義に乗っ取っているように感じてしまいます。

もし良ければ、教えてくださればとても助かります。😭

gößt 約5年以前

少し返事が遅くなってしまいました

S[2n]も部分和といえば部分和ですが、S[2n]だけだと部分和の一部しか考えられていないです
部分和を考えるというのは第n項目までの和S[n]の極限を考えるということで、この場合だと数列
3, 1/2, 3, 2/3, 3, 3/4, 3, 4/5, ⋯
について極限を調べることになります。{S[2n]}というのはそのうち偶数項目だけを取り出した数列
1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ⋯
のことなので、これだけ調べても議論としては不十分なのです

留言

解答

哲治

約5年以前

有限の場合に当たり前のことが無限では当たり前ではありません。
これもその一例で無限の足し算では交換法則は成り立ちません。
勝手に足す順番を変えると、結論がいくらでも変わるからですね。
だから基本は第n項までの有限和を取ってそのnを無限に飛ばして考えなければなりません。

留言

約5年以前

収束することが明らかになっていない関数は足し算の順序を変えてはいけません。
模範の場合の足し算の順序
1、2、3、4、5、6、7、8、......

あなたの回答の足し算の順序
1、3、2、5、4、7、6、9、......

傍心約5年以前

ありがとうございます。

順番を変えてはいけないことが頭では分かっているつもりだったのですが、、やらかしてしまいました。

教えてくださって助かりました。

傍心約5年以前

何度もすみません。

どうして自分の解き方だと13254...となっているのかがやはり分かりません。
教えていただいてもよろしいでしょうか。すみません。

NN 約5年以前

無限に対応するやり方で計算をするとそういう順番になります
1-1+1-1+1-1+1-1+......
=0+1-1+1-1+1-1+......
=0+0+1-1+1-1+......
=0+1-1+1-1+......
=0+0+1-1+......
=0+1-1+......
=0+0+......
=0+......
という感じですかね。
加算順序がそんな感じです