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試問分子為何這樣設呢?
感謝回答🙏🏻

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Choosen As Best Answer

重複組合,十個數字0~9取出三個,不限取出的數字的個數,也就是說5可以取2個,也可以取3個,依此類推。

然後取出來的三個數字再做排列,由大到小排,假設取到0、5、0,這樣就排成500,以此類推,因為只有一種排放,就是大到小排,所以排列數×1

這樣便是H(10,3)=C(12,3)

但是這樣取會取到0、0、0的情況,所以要扣掉

匿名

因為沒有學過H的符號😭
想問C12取3該如何解釋呢?

león hung

好吧!那我就花一點篇幅解釋重複組合的概念還有背後的邏輯##

這裡要先拋下一個成見,就是為什麼要用C(12,3)來寫(????
這雖然也可以硬是去解釋它,但我比較不喜歡這樣去解釋#
這裡雖然標題寫著重複「組合」,背後卻是用「不盡相異物的排列」來算。

舉個小例子,假設有五杯一模一樣的奶茶,然後有小米、小明、小華三個人,要來分這五杯奶茶,五杯要全部分完,但不一定每個人都要拿到,也就是說,小米拿5杯,其他人0,這是可以接受的,或者是小米2、小明2、小華1,這也是可以接受的#

這樣的話要怎麼寫??

我會這樣去想像,現在有五杯奶茶放在桌上,我用兩個木板將桌子分成三個部分,分別叫做米、明、華區,接著讓五杯奶茶各放到每一區裡面,這樣的概念,

所以就是○○○○○ ⅼ ⅼ 這樣去做「不盡相異物排列」也就是7!/5!2!

這就是我們的背景知識

león hung

也就是可以分成○○ ⅼ ○○ ⅼ ○這樣,或是以此類推,那麼我由左到右分別叫做米、明跟華,圈圈代表奶茶的杯數,直線代表板子

再來我要把這個例子模式化,我會這樣去列式#

小米拿的杯數 +
小明拿的杯數 +
小華拿的杯數=
5杯

符號來表示就是A+B+C=5,ABC都是正整數或0,也就是「非負整數」

león hung

我現在已經慢慢的符號化跟模式化了,
現在要繼續讓它們公式化,但我要先確認組合C的公式

預防萬一我先寫下這個

C(n,r)=n!/r!(n - r)!

這是組合的公式,待會會看到。

我把剛剛做好的伏筆拿出來解釋

就是A+B+C=5這件事,詳細講的話就是
「滿足這個等式的所有非負整數解有幾個?」其實就跟剛剛三個人可以怎麼分飲料是一樣的道理,希望到這邊你還能撐住><

好了!我就當作可以接受囉!

因為剛剛故事中的解釋,我可以把這題用這個式子解:

(5+3-1)!/5!2!

為什麼要5+3-1這樣去寫?

其實寫清楚一點應該是5+(3 - 1)

因為我剛剛是把桌面用「2」個板子分成「3」區,
也就是(n - 1)個板子將桌面分成n個區域

león hung

到這邊我們已經慢慢的解釋完
重複組合H的公式還有意義了
但你可能還是很懷疑,這個到底跟H還有C有什麼關系???

在這邊我要把他們都符號化了,

先觀察看看最後我說n-1個板子分成n個區域那邊,要把這樣的情況寫成算式,

所以可以這樣寫,假設現在不是5杯,而是 r 杯好了,

那式子就會變成

(r+n - 1)!/ r!(n - 1)!

寫成符號應該是能看的懂啦(?)看不懂的話可就糟糕了,因為我待會都會是用符號。

觀察一下這個式子,是不是跟我上方寫的組合C的公式很像?應該是一模一樣的吧!!

我甚至可以把它寫成C( r+n-1 , r )

león hung

那麼就解決了,台灣人為了方便就是這麼複雜的公式還有概念,發明了新的符號,這個符號有這樣的定義:

H(n, r)=C(n+r-1 , r),方便記憶就變成

「上面加下面減1,下面不變」

león hung

那麼再回來解釋原本你的題目,題目是10個數字取3個出來,3個可以一樣,也可以不一樣,但是最後都要「大到小」來排,
運用我剛剛的概念,現在先分成10個區域,是不是就需要9個板子?
再來要分三個數字,可以反過來想像成丟三個一樣的石子到各個區域,分別代表那個區域被選中幾次,所以現在就變成9+3個東西去做不盡相異物排列了。

león hung

那麼簡單一點用重複組合的概念寫,就是A+B+C……+ I + J =3,A到J有十個字,分別代表0~9分別被取到的次數

再來用H來寫就能夠理解了吧#

也就是H (10,3)=C(10+3 - 1 , 3)=C(12,3)

這樣就解釋完畢了!!

león hung

不過我還是要道歉。不小心洗了你的版。希望你不會介意。還有希望你能夠看的懂。

匿名

懂了懂了!真的謝謝你!
還願意花這麽多時間跟我解釋🥺
好人一生平安,指考人在此致上無限敬意🙏🏻

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