解答
解答
解決済みになってますが気になったので⋯
ベクトルの内積は概念乃至は定義なので同値とかはありません
どういった意味で同値という言葉を用いているのかにもよりますが、
「xy平面上の二点A(a₁, a₂), B(b₁, b₂)に対して
OA×OB×cos∠AOB＝a₁b₁+a₂b₂」
という命題であればある意味で余弦定理と同値と考えることができますね
気になったことというのは正弦定理についてです。これが上に書いた命題と同値というのは少し疑問があります。正弦定理の証明には円周角の定理を必要としますが、それさえあればあとはほとんど何もいらず、もちろん三平方の定理も要求しません。正弦定理が余弦定理からは導かれないことをはっきり示すことは難しい(し私にはよく分からなかった)ですが、少なくとも容易に同値と結論づけられる類のものではないはずです
言われてみれば、正弦定理の証明では、sinの定義と円周角の定理しか使いませんね。それは失念していました。先日友人が、証明できたと大喜びで自慢してきたので、本当に同値なのか気になりました。確か、第2余弦定理なるものを導くなどと申しておりましたが、それで証明できるものなのでしょうか
横から失礼致します。アプリが消えてしまったので色々変わっていますが、昨日答えさせていただいた馬鹿バカボンです。
ベクトルの内積に関する指摘はおっしゃる通りです。
正弦定理についてなのですが、確かにsinの定義と円周角の定理があれば証明できます。しかし、正弦定理の証明方法は他にもいくつかあり、その中には三平方の定理やその一般形である余弦定理が絡んでいるものもあります。
写真にその正弦定理の証明と、正弦定理と余弦定理が同値であることの証明を載せておきます。
まだまだ勉強不足なので証明として不完全な点があるかもしれません。そのときは指摘してくださると嬉しいです。
ふつう、第2余弦定理といったら通常の余弦定理を指しますね。そこから正弦定理が示せるということでしょうか
第1余弦定理というものがあってこれは
三角形ABCに対して
bcosA+acosB=c
という言明です。Cからcに向かって垂線を下ろせば示せますが、以下によると余弦定理や加法定理を用いて示すこともできるそうです。第1余弦定理と正弦定理から加法定理を示すこともできるみたいなのでつながりはあるのかもしれませんね
https://mathtrain.jp/daiichi
これは失敬、第1余弦定理ですね。混同していました。
あ、コメント気付きませんでした。バカボンさん証明をありがとうございます。私も参考にさせていただきますね
こちらこそ勉強になりました。
ありがとうございます。
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ちなみに正弦定理とも同値だった気がするんですが