Question

Duma

共テ対策問題集数2Bの 階差数列の問題です

(3)で、bnをbn-1にしたいのは分かったのですが、n>=2のときなんでn-1に置き換えられるんでしょうか？？🥺またこの解答は何をしたいのか、意図を説明して頂けたら泣きます

(3) 数列{an} の階差数列{bm}がA
61+6 +63+･･･+bn=2n+3
(n=1,2,3, ...)
を満たしている.さらにα=3であれば,2以上の整数nに対して
シ
an=
となる.
n+

(3) 数列{an} の階差数列が {bm} である.
つくりたい
{an}: a1,
A2,
a3,
+b1 +b2
an-1,
an
+bn-1
したがって, n≧2のとき
an=a1+(b1+b2+・・・+bu-1)
いま、すべての自然数nに対して
2
b1+b2+... +bm-1+b=2n+3
n個の和
←
an は α より
by+b2+... +bm-1
だけ大きい (n≧2).
...⑰
る。2以上の自然数nに対して
← 数列{a}の階差数列を (b) とす
が成り立っている。n≧2であれば、この等式のnを n-1 に書き換え
ることができて
b1+b2+... +b-1=2(n-1)+3
n-1 個の和 =2n+1.
これと α1=3 を 1 に代入すると
an=3+ (2n+1)
1+N
サ
シ
2 n+
4
(n≧2).
(注) 数列{an} の一般項は
(n=1),
an=
2n+4 (n≧2)
となる.
(4)数列{a}の初項から第n項までの和をS" とすると, すべての自然
数nに対して
Sn=2.3"
-1
an = a1 + Σbk.
(1)(+税
k=1

数列 階差数列 等差数列 共テ 数2b

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

新世界の創造神2代目

{bn}は一般項が2n+3で、5,7,9,11…と増えていきます。
これが{an}とは無関係なただの等差数列であれば、一般項のnを置換する必要はありませんが、この問題では、数列{an}の階差数列です。
それから、{bn}の一般項は問題文から2n+3と分かっていますが、これはあくまでbnの第n項を求める式です。

{bn}を単純に言えば、{an}の「"第n-1項"から"第n項"までいくつ増えているか」を表した数列です。
したがって、{an}の第1項と第2項→第2項と第3項→第4項と第5項…第n-1項と第n項の、大きい方から小さい方を引いた数字を小さい順に並べると、階差数列{bn}になります。

{bn} のnをn-1に置換する理由は、前述の通り、{bn}が数列{an}の項と項の差の数列だからです。
例えば{an}の第2項は、a2=a1+b1=8と求められます。つまり、{an}の求めたい第n項のひとつ後ろ（第n-1項）に項がなければなりません（初項のひとつ後ろ=0番目に項はないため「nが2以上のとき」としています）。
問題文から、{bn}のnは「1,2,3…」と1から増えていくことがわかります。

これらのことから、nが2以上のときの{an}の一般項を求めるために、{bn}の一般項2n+3の「n」を「n-1」に置換しています。置換した後、計算すると解答・解説のように2n+1になります。
あとは、この2n+1を{an}の初項3に足します。3は単なる数字なので、計算して「2n+4」となります。

これで、答えは「サ」が"2"で「シ」が"4"と分かります。

Duma

初項のひとつ後ろ=0番目に項はないため「nが2以上のとき」としてるのか！！
ありがとうございました😭🥹🥹🥹