Question

かなかな

この問題の3なのですが、解答の緑ペンのところの変形がわからないので教えてほしいです。

1
7 関数 f(x) =
について,次の問いに答えよ。
x2(1-x)
a
a 3
b
3
x
x
a1
(1)S(x)=1/12/21+1/2+2+10x とおいて,定数a,a2, a, b を求めよ。
(2) 不定積分 Sf(x)dx を求めよ。
dx
「 (p = 1, 2, 3, ・・・・・・) を求めよ。
同様にして、不定積分 ¥1-x)

(3) (1)より, 一般の= 1, 2, 3,
1
•に対して
1
= +
2
x
+......+ +
XP
(1-x) x
①
と予想される。
ここで
-+
x
++
(金)
=
x-1
x-1
(1)
よって、 ①の右辺は
x²-1
1
1-x+xP
1
+
=
(x-1)
1-x x(1-x)
=
=
= (左辺)
(1-x)
となり, ①は正しい。
dx
p=1のとき
(1-x)
そこで,(2)と同様にして①を積分すると (Cは積分定数とする)
=log|x|-log|1-x +C
dx
P2のとき
-=log|x|
1 1
-
-
(1-x)
x 2x2 3x3
[参考] ① は次のように数学的帰納法で証明してもよい。
[1] p=1のとき
(1)x-log|1-x+C
1-x+x
=
(1-x)
(1-x)
よって、 ①が成り立つ。
[2] p=k (kは自然数のとき
1
= +
x 1-x
1
1
①が成り立つ, すなわち
(1-x) X
+1xと仮定する。
x
p=k+1のときを考えると
=
=
X
+
++++++
(1-x)
+
+
・・・・
+
+
x
x
よって, p=k+1のときも①は成り立つ。
[1], [2] から, ① はすべての自然数』について成り立つ。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

部分分数分解しています

かなかな

ありがとうございます！