Question

むにゅたん

(4)の赤波線部分の説明が、なぜこうなるか分からないので教えてください。

例題 157 空間図形の計量
1辺の長さが2である正四面体 ABCD において,辺
BCの中点を M, ∠AMD = 0 とするとき,次のも
のを求めよ。
(1) cose
(2) 正四面体 ABCDの体積V
(3) 正四面体 ABCD の外接球の半径R
(4) 正四面体 ABCD の内接球の半径r
思考プロセス
次元を下げる
底面高さ
3
(2) V = × ABCD XAH
Hはどの位置にあるか?
(3) 立体のまま考えるのは難しい。
B
M
★★★
外接球の中心0が含まれる三角形を抜き出して考える。
Action» 空間図形は、対称面の切り口を考えよ
B
MH
(4)
四面体の
09
内接球の
半径の求め方
三角形の
類推
内接円の
半径の求め方
解 (1) △ABC, ABCD は 1辺の長さ2の
正三角形であるから0
CA
2
AM=√√3,DM=√3
AMD において,余弦定理により
60°
B
(3)+(√3)-2
M
D
M
H
√3
AM+DM-AD
2.3.3
3
cost=
(2)AB = AC=AD = 2 より, 頂点Aから底面 BCD に
垂線AH を下ろすと, 点Hは△BCD の外心である。
よって, 点Hは線分 MD 上にあり
AH = AMsin0=AM√1-cos20
AH 1 MD
2-AM-DM
AACH=AADH
より BH = CH = DH
よって, 点Hは正三角形
BCD の外心であるから、
H は BC の垂直二等分線
上にある。
AABH
280
==
3
3
sin60°). 2√6
よって V =
.2.2.sin60°
3 2
3
(3)正四面体に外接する球の中心を0とすると,
1
V =
・△BCD・AH
3
2√2
また
=
3
ABCD
1
BC-CD sin BCD
2
OB = OC = OD より 点0から底面 BCD に垂線 OS を
下ろすと,点Sも ABCD の外心となる。
(2)より,点HはABCDの外心であるから,点は線分
AH 上にある。
AOBS = AOCS=AODS
|より BS CS DS
点と点Sは一致する。

また,ABCD は正三角形であり,正
三角形の外心と重心は一致するから
外接球はMを通らないか
DH =
DM=2,3
√3 R
2
3
さらに,右の図において
OR
正弦定理によってR
を求めることはできない
ことに注意する。
M
OA=OD=R
H2/3
D
点Hは ABCDの重心で
あるから
3
OH = AH-OA =
2√6
・R
R2=
ゆえに, ODH において三平方の定理により
3
(2)+(2)
√6
したがって
R=
2
DH:HM=2:1
なお、重心については数学
Aで学習する。 p.454 ま
とめ⑤参照。
(1)を利用して
MHAMcosd=
より
DH=MD-MH= 2√3
√3
3
(4) 正四面体に内接する球の中心
をO′とする。
正四面体 ABCD の体積は,四
面体 O'BCD の体積の4倍であ
るから
O'
D
2√2
1 1
H
= 4 ⋅
3
3 2
･2･2･sin60°・
√6
よって r=
6
Point.内接円の半径, 内接球の半径
も
3
4
11
' から4つの面に下ろ
した垂線の長さが等しい
から, O' によって分けら
れる4つの四面体の体積
は等しい。
r=OH であることから
0 と O' は一致する。 す
なわち, 正四面体の外接
球と内接球の中心は一致
する。
図形の計量
例題150では三角形に内接する円の半径を求めたが,同様の
考え方で四面体に内接する球の半径を求めることができる。
四面体 ABCD の内接球の中心を0とし, 四面体 ABCD, 四
面体 OABC, 四面体 OACD, 四面体 OABD, 四面体 OBCD MOME
の体積をそれぞれV, V1, V2, V3, V4 とすると
AA
円
D
B
V = V1 + V2 + V3 + V4.
点 0から各面へ下ろした垂線の長さは,すべて内接する球の
C C
半径rに等しい。 よって
平
V = V1 + V2 + V3 +V4
園空
1
01/13r. ABC+/3・r・AACD+/3・r・△ABD+/3
1
1
r.ABCD
すなわち
(四面体の体積)=1/13×(四面体の表面積)
ま
これより、四面体に内接する球の半径を求めることができる。
)
11571辺の長さの正四面体 OABCがある。 OAの中点をL, OBを2:1に内分
する点を M, OCを1:2に内分する点をNとする。 △LMN の面積を求めよ。
(お茶の水女子大)
28
p.288 問題157

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

印字された点線部のことでしょうか？

下のPointと傍注の「4つの四面体の体積は等しい」
ことからいえますね