Question

こん

(4)の解説がわかりません

190 第6章 確率
標問 86
確率の最大値
1の目が出たときは駒が矢印に沿って1つ進み, それ以外は同じ場所にとと
図のような経路があったとき, A点, B点においては, さいころを投げて
まるとする. C点においては, さいころの目にかかわらず同じ場所にとどま
るとする。さいころを投げて1の目が出る確率は1/3である。さいころも。
回投げた結果として, 駒がA点, B点, C点
にある確率を An, Bn, Cn とする.
A B
駒がA点にある状態から始めるとして,次の問いに答えよ.
C
Bn
M Anを求めよ. (2)
を求めよ.
(3) C を求めよ.
An
(4)を変化させたとき, B" が最大となるnの値をすべて求めよ.
(豊橋技科大)

とき,
が出る確率であり,
An= (1)
(2) 1回目にBに進み、 その後動かない確率は
2回目にBに進み,その後動かない確率は
3回目にBに進み,その後動かない確率は
n回目にBに進む確率は
6
5
n-1
n-2
5
66 6
5n-
6"
31(0) (-5)
(言
n-1
5n-3
6
5n-1
6"
5n-1
したがって, Bn=n..
5n-1
6"
Bn n
よって,
5
An
=
(3)回後Cにいるということは,AにもBにも
いないことであるから,
■上の各確率をすべて加える
5(n+1)
n
Cn=1-An-Bn=1-
5n-1
- n°
6
6n
5"
(n+1)
5"-1
Bn+1
6n+1
(2)より Bn=no 6"
(4)
=
==
Bn
5n-1
B+1=(n+1)
5"
n.
67+1
6"
であるから,
Bn
6n
6n
Bn+1≧15(n+1)≧15≧n
したがって, Bm<Bn+1⇔n<5,
Bn>B+15<n
Bn>Bn+1 ⇔ 5<n,
B5=B6 PLAYB
, B₁<B2<B3<B4<B5=B6>B₁>B8>...
ゆえに, Bn が最大となるnは5,6である.
n=5のとき
Bn+1=1
Bn
1003

Answer 1

サイトウユウ

統計などで学ぶことではあるのですが、確率は二次関数のような形になることが知られています。詳しくは写真を見てください。例えばサイコロを20回振って6が10回出る確率とサイコロを30回振った時だと、30回の時の方が多くなりそうですよね？でも300回振ったら確率は下がるのがわかりますか？（7回以上出てしまうということ）そんな感じです。その上で今回の写真を見てみてください。1-3は漸化式で解いたけど、解答とやってることは変わりません。

Answer 2

GDO

Bₙ₊₁=5(n+1)/6n・Bₙ

解説は、係数「5(n+1)/6n」が１より大きいか小さいかで、
Bₙ₊₁とBₙを比較しています。
以下を見てください
ーーーーー
n=1,2,･･･を調べてみると次ようになる
n=1：B₂=10/6・B₁ >B₁
n=2：B₃=15/12・B₂ >B₂
n=3：B₄=20/18・B₃ >B₃
n=4：B₅=25/24・B₄ >B₄
n=5：B₆=30/30・B₅ =B₅
n=6：B₇=35/36・B₆ <B₆
n=7：B₈=40/48・B₇ <B₇
･･･
まとめると、以下のようになっている
B₁<B₂<B₃<B₄<B₅=B₆>B₇>B₈･･･