Question

りんご

この問題の解答の赤いところについてで、式変形は分かるのですが、何故これをしようと思うのか、また、なぜこれでBEベクトルが求められると分かるのかが分からないです。教えてくださいm(_ _)m

解 169. X
座標空間において, 原点を中心とし半径が√5の球面をSとする。 点A(1, 1, 1) か
らベクトル = 0, 1, -1) と同じ向きに出た光線が球面Sに点Bで当たり 反射して
球面Sの点Cに到達したとする。ただし反射光は,点0, A, B が定める平面上を, 直線
OB が∠ABC を二等分するように進むものとする。 点Cの座標を求めよ。
[20 早稲田大 教育]

-OD=F(OF-7
169 〈球面で反射される光線〉
kを正の実数として AB=ku と表せることと,Bが球面 x2+y2+22=(√5)2 上にあるこ
とを用いて,まずは点Bの座標を求める。
次に線分AD と線分OB が直交するように, 線分BC上に点Dをとり, 線分AD と線分 OB
の交点をEとする。 このとき, BEはBA の直線 BO 上への正射影となり, Dは線分AEを
2:1 に外分する点であるから, 点Dの座標が求まる。
与えられた条件から,k を正の実数として
B
OB=OA+ku=(1,1+k, 1-k)
よって, 点Bの座標は (1, 1+k, 1-k)
A
ゆえに
k2=1
k=1
Bは球面S上にあるから
12+(1+k)2+(1-k)2=5
k0 であるから
したがって, Bの座標は
(1,2,0)
ここで,線分AD 線分 OB が直交するよ
うに、線分 BC上に点Dをとる。 また, 線分 AD と 線分 OB の交点を
Eとする。
E
D
◆球面Sの方程式
x2+y2+2=(√5)2
の x, y, zにそれぞれ代入
する。
このとき
|BE|=|BA|cos ∠ABO
BA・BO
=|BA|X-
|BA||BO|
BA・BO
|BO|
IBE
ゆえに
BE
=
-BO=
BO
BABO BO
|BO|2
R-OP-MO-
|BO|=√5, BABO 2 であるから
BE=BO=(-.-, 0)
Dは線分AEを2:1に外分する点であるから
BD: =
4
10:00
2-1
BA+2BE =(-1, -1, -1)
3
5
よって正の実数を用いて
m.
OC=OB+mBD=(1-13m,2-123m, -m)
よって、点の座標は
Cは球面S上にあるから
ゆえに
0であるから
3
m,
(1-1/sm.2-mmm-m)
(1-1/mm)+(2-1/23m)+(-m=5
m(m-2)=0
m=2
したがって,点の座標は
5
(3-2)
■BE を BA の直線BO 上
への正射影という。
4.
B
◆点Cは直線BD上にある
から BC=mBD
(m は実数)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

書いてあるように
正射影ベクトルとか呼びますが、
これを題材とした問題は定番です

結論を覚えるのも好き好きですが、
赤線部の導き方の流れを図とともに
押さえましょう

慣れて、すぐに当たり前の流れになるでしょう
問題を見て、図を描いて状況を把握して、
正射影だなと気づいたときに、
手がちゃんと動きます

りんご

納得しました！お二方とも回答ありがとうございました！

Answer 2

かき

とにかくBD↑を求めれば、Bの座標がわかってるので、BD↑の延長にあるCの座標が求められる、という考えなんです。
そのBD↑を求めるために、BE↑を求める過程が赤いところの箇所です。

りんご

回答ありがとうございました！