Question

みかん

微積の問題です。最後の面積を求める問題が全く理解できません。なぜ三角形ABCが出てくるのでしょうか？

目標解答時間
10分
71
難易度 ★★
2次関数 f(x)=1/2x2+1 を考え、放物線 C:y=f(x)上に2点P(4t,f (4t)),
■関連する基本
Qt.f(t)) をとり、 2点P, Q における放物線Cの接線をそれぞれし, mとする。ただ
し, t>0 とする。
ア
2直線lとが直交するときに
であり,このとき
直線の方程式はウ
XC
I
直線の方程式はy
オカ
キ
ク
x+
ケ
である。 さらに、 2直線の交点のx座標は
である。また,このとき, 放物線C
サ
と2直線1mによって囲まれた図形のうち,x≧0を満たす部分の面積をSとすると
[シスセ
S=
ソタチ
である。
配点
10

71
放物線と2つの接線で囲まれた図形の面積
f'(x)=x だから、 2点P,Qにおける
接線の傾きは、それぞれ
m
4t. -t
である。 2直線が直交するとき
Q
4t
41-(-1)=-1<
A
t > 0 であるから
A
2直線が直
⇒ (傾き
12
1=
このとき,P(2.3).Q(-1.02) より、直線の方程式は
y-3=2(x-2)
」2
すなわち
y=2x-1
直線の方程式は
(+)
y
8
すなわち
オカ
7
x+
2
8
さらに、2直線の交点のx座標は
78
12
4
ここで2直線1mの交点をA, 2直線l my切片をそれぞれB, Cとす
2x-1=-x+
2
を解いて x =
ると
45
A ABC-1-(-1))-3-44
AABC=. 2
64
よって, 右の図より, 面積Sは
S=
∫{(2x+1)-(2x-1)}dx-△ABC
x²-2x+2)dx-
=1/2x+2x1
-4+4-
45
64
45
64
B
45
64
m
Point
シスセ
121
ソタチ
192
78
SI
C
O
-12
B
積分
P
に分
が、
13-4
と言
C積
C
積
2
放物線の接線, 直交する 2直線といった基本的な事項を押さえ、放物線と2
本の接線の関係を図に適切に表すことが求められる。面積を求めるには,2
つの積分に分けて考えてもいいが,図から△ABCの面積を利用できること
に気づくことがポイントであり,より面積が求めやすくなる。
- 86·
を

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

ポイントにも書いてありますが、
ある領域をぶった斬ってそれぞれ求めるのは
計算が面倒になりがちです
今回も引くのが簡単です

最後にちょこっと書いた公式は覚えなくてよいです

つねに、どう求めるのが楽そうか考えるようにすると、
要領がわかってきます