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重要 例題 96
2つの円の共通接線
円 x2+y2=1
......
......
(2
① と円 (x-4)2+y2=4
を求めよ。
)に共通な接線の方程式
EX
CHART & SOLUTION
円の接線
中心と接線の距離 d = 円の半径 r
基本錠
77
A
求める直線を y=mx+n とおいて、 2つの円に接する条件を考える。
接点⇔重解 よりも d=rの方がスムーズ。
Linf.
が円②の半径に等しいとして解く方法もある。
①上の点における接線が円 ②とも接するから,円②の中心と、この接線の距離
(解答編. 118 PRACTICE 96 別解 参照)
解答
2つの円 ①,②に共通な接線はx軸に垂直ではないから, 接
...... 3
線の方程式を y=mx+n すなわち mx-y+n=0
とする。
YA
直線③が円 ①と接するとき,円 ①の半径は1であるから
1m0-0+nl
12
-=1
m²+(-1)2
よって
|n|=√m²+1
④
直線③が円 ②と接するとき,円②の半径は2であるから
|m・4-0+n|
=2
√m²+(-1)2
よって
|4m+n|=2√m²+1
④ ⑤から 4m+n|=2|n| ゆえに 4m+n=±2n
よって
4m=n または
[1] 4m=nのとき
4m=-3n-s
1
④から m=±
4
n=±
(複号同順)
√15
√15
[2] 4m=-3n のとき
3
4 h 5 m = ± √7" n=+- 17(複号同順)
よって, 求める接線の方程式は
←|A|=|B|⇔ A=±B
←|4m|=√m²+1 から
両辺を2乗して
16m²=m²+1
よってm²=15
y=±- =(x+4), y=±
= (3x-4)
√15
PRACTICE 96°
円 (x-5)2+y=1と円x2+y=4 について
(1) 2つの円に共通な接線は全部で何本あるか。
(2) 2つの円に共通な接線の方程式をすべて求めよ。
求める接線は4本ある。
