Question

りんご

この問題で格子点を使うという発想が出てこなかったのですが、どういうことに注目していれば気づけますか？

33.X
Nを正の整数とする。 2N 以下の正の整数m, nからなる組 (m, n) で, 方程式
x²-nx+m=0 がN以上の実数解をもつようなものは何組あるか。
[東京工大

これを満たす整数 αは
a=15
針 33 2次方程式がN以上の実数解をもつ条件>
n
条件からとnが満たす不等式を導き, その不等式が表す mn 平面上の領域を考える。
f(x)=x-nx+m とすると,0<n≦2N のとき,y=f(x) のグラフの軸 x=- につい
f(N) ≤0
01Nであるから,f(x) =0がN以上の実数解をもつ条件は
f(N) 0 であれば, y=f(x) のグラフはx軸と共有点をもつから, 判別式を調べる必要は
ない。
f(x)=x2-nx+m とする。
関数 y=f(x) のグラフは下に凸の放物
n
線であり,軸は直線 x= である。
2
m
ここで,0<n≦2N であるから
ON
0</≤N
よって, 方程式 f(x) = 0 がN以上の実
数解をもつための条件は,右の図より
y=f(x)
22-
n
N
x
◆nは正の整数であるから
n>0
数学重要問題集(理系)
29

f(N) ≤0
すなわち
N2-nN+m≦0
この不等式をnについて解くと, N 0 であるから
N
n≥ m+N
NA
これを満たす 2N 以下の正の整数 m, n
N+2
の組 (m, n) の個数を求める。
N+1
g(m) = 1/2m+Nとする。
N
関数 n =g(m) は1次関数であり,その
グラフは右の図のようになる。
0
[1] 2N≧N+2 すなわち N≧2 のとき
条件を満たす整数m, nの組 (m, n)
が表す点は, 右の図より,
NA
直線 n = N+1 上に N個,
2N
直線 n=k
N+2
(ただし, N+2≦k≦2N)
N+1
N
上に2N 個だけ存在する。
よって, 全部で
N+2N・{2N-(N+1)}
=2N2-N (組)
im
N 2N
0> ((S+
m
01 N
2N
[2] N=1のとき
NA
このとき g(m)=m+1
よって、条件を満たす整数 m, nの組
2
(m, n) は, 右の図より,
1
(m,n) = (1,2)の1組。
ar
ここで, 2N2-N において, N=1 とす
-10
ると
2.12-1=1
よって、 すべての正の整数 N に対して,
求める組の個数は
22-N (組)
m

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

序盤は典型的な解の配置の問題で、
N²-nN+m≦0までは自然かと思います

Nを自然数、m,nを2N以下の自然数として、
N²-nN+m≦0をみたす
(m,n)の個数を求めるのが目的です

わかりにくければN=2とかでもして、
4-2n+m≦0を満たす0<m,n≦4の自然数の組(m,n)
の個数を調べようと思ったら、

m≦2n-4などと変形して直線m=2n-4の下、
横軸（n軸）より上、直線m=4の下、
の領域の格子点、と考えるのは、
これもまた自然かと思います

りんご

なるほど！納得しました！ありがとうございました！