Question

りんご

この問題を手書きの付箋のように解いたのですが、解答と解き方が違ったので、方針は合っているか教えて欲しいです！また、解答の赤い線のところの論理が分からないです。(写真がこれ以上追加できないのでコメントのところになぜ分からないかの写真を付けたので見てくださいm(_ _)m)教えて欲しいです！

(x-1)(x+x+1)=(x-1)Q(x)+ax²+x+
x³-1 = 0 a 1742 X=1, W., W₂ EX co
P(x)=(x-1)(x+x+1)
とする。.nは3で割って1余る数
でx2+x+10の再年はWW2
# T=. W., W2 12x³-1=0^1}
もあることより
①の式から因数定理より
0=a+b+c
2
○=aw²+bwitc
a=b=c=0

13. A
3で割った余りが1となる自然数nに対し, (x-1)(x3n-1)(x-1)(x-1) で割り切
れることを証明せよ。
[18 慶応大理工]

13 〈1の3乗根を利用する割り算の証明問題〉
x2+x+1で割り切れることを示すには, 方程式 x2+x+1=0の解の1つである、その共
役複素数について成り立つ次の性質を利用する。
とは1の3乗根であり
ω=1.ω'+w+1=0 (ω=1, (ω) +w+1=0
(x-1)(x3n-1)=(x-1)(x-1)(x2n+x+1)
28
(x-1)(x-1)=(x-1)(x²+x+1)(x-1)
よって, x2n+x" +1がx2+x+1で割り切れることを示せばよい。
ここで, x2+x+1=0 の両辺にx-1 を掛けると
(x-1)(x2+x+1)= 0
すなわち x3=1
よって、1の3乗根のうち, 虚数であるものの1つをωとおくと,
w=1, w2tw+1 = 0 である。
>
◆x3-1=(x)-1
=(x"-1){(x")2+x"+1}
また, の共役複素数も方程式 x2+x+1=0の解であるから,
x2+x+1=(x-w) (x-ω) と因数分解できる。
ここで,f(x)=x2"+x"+1 とおくと f(w)=w2n+wn+1
O
nは3で割った余りが1となる自然数であるから, k0以上の整数
とすると, n=3k+1 とおける。
よって
f(w)=2(3k+1)+w3k+1+1=(ω3)2kw²+(3)w+1
=ω'+w+1=0
また,同様にして,f(w) = 0 も成り立つから,x2n+x "+1は
xw) (xw) すなわち x2+x+1で割り切れる。
したがって,3で割った余りが1となる自然数nに対し
(x-1)(x-1) は (x-1)(x-1) で割り切れる。
BALY
コール
3=1 を代入。
tw²+w+1=0 を代入。
$300-4 (1)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

フラッグ

私は複素数は余り得意でないので、分かることだけ書きます。
手書きの解答
①の式から因数定理より
からの論理展開が間違ってます。
0=a+b+c
0=aω^2+bω+c だからといって
a=b=c=0とはいえません。
ωはx^2+x+1=0の解なのだから。
赤線を引かれた箇所については、
因数定理を二回適用しただけです。
詳しくなくてごめんなさい🙇‍♀️

フラッグ

もし、ほかの方が優れた回答を提示されたら、そちらをベストアンサーに選んでください。

りんご

納得しました！回答してくださり、ありがとうございました！！