Question

かなかな

この問題の解説の赤線のところなのですが、なぜ漸近線と平行な直線は接線ではないのでしょうか。

:4x+4y=20
6
Cest
PRACTICE 130°
点A(1, 4) から双曲線 4x2-y2=4 に引いた接線の方程式を求めよ。 また、その接点
の座標を求めよ。

点A(1,4)から双曲線 4x2-y2=4 に引いた接線の方程式を求めよ。また,その接点の座標を
360
・数学C
PR
③ 130
求めよ。
4x-y2=4
① とする。
4
方針 1 点Aを通る接線のうち, x軸に
垂直なものの方程式はx=1であり,
その接点の座標は (1, 0) である。
x軸に垂直ではない接線の傾きをと
すると, 接線の方程式は
2
-1
01
x
2
[inf, 点 (1,4)を通る直
線のうち, x軸に垂直な
直線 (x=1)は双曲線の
接線である。 そのことを
確認後、 点 (1,4) を通る直
線のうち, x軸に垂直で
ないものを②の形で表す。
◆接線は点 (1,4) を通る。
y=m(x-1)+4
②①に代入すると
4x²-{m(x-1)+4}2=4
整理すると
(4-m²)x2+2m(m-4)x-m²+8m-20=0
(3)
m=±2 のとき, 直線 ② は双曲線の漸近線 y=±2x (複号
同順) と平行で, 接線ではない。 よって
m±2
このとき 2次方程式 ③の判別式をDとすると
1/2={m(m-4)-(4-m²)(-m²+8m-20)
=-32m+80=-16(2m-5)
5-2
◆このとき 4-m²≠0
[inf. 接線の方程式を傾
きの直線とおいて判
別式を使う解法は,次の
(ア)~(ウ)の点で注意が必要。
(ア) x軸に垂直な直線は
表せない。
(イ) 判別式の計算が煩雑
な場合がある。
(ウ) 接点を改めて求めな
ければならない。
直線 ② が双曲線 ①に接する条件は, D=0 から
m=
よって、 接線の方程式は
5
3
y=
2x+
④
2
5
9
m= 2
③に代入して
ゆえに
9x2+30x+25=0
よって
5
すなわち x=-
8
④から
3
y=-3
y=.
したがって、 接線の方程式と接点の座標は
接線の方程式がx=1のとき 接点 (1,0)
5
3
接線の方程式が x+1/2 のとき 接点(-13-1/3)
x=_b
8
2a
よって,m=-
5
を
2
2x²-15x-25-0
4
(3x+5)20
← 2次方程式
ax2+bx+c=0 が重解を
もつとき、その重解は